POSIZIONE DI UNA RETTA RISPETTO AD UNA CIRCONFERENZA

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Supponiamo di avere la CIRCONFERENZA di equazione

x2 + y2 + ax + by + c = 0.



Ora immaginiamo di avere la RETTA di equazione.

y = mx + n.



Vogliamo sapere se vi sono dei PUNTI di INTERSEZIONE tra la circonferenza e la retta.

Per risolvere questo tipo di problema è sufficiente mettere a sistema l'equazione della circonferenza con quella della retta e cercare quei punti, se ci sono, che sono comuni ad entrambi. Quindi avremo:

Punti di intersezione tra circonferenza e retta



Per risolvere il sistema basta sostituire l'equazione della retta in quella della circonferenza. E avremo:

x2 + (mx + n)2 + ax + b (mx +n) + c = 0

x2 + m2x2 + n2 +2mnx + ax + b mx + bn + c = 0

x2 (1 + m2) + x (2mn+ a + bm) + (bn + c + n2)= 0.



Quella che abbiamo ottenuto è un'EQUAZIONE DI SECONDO GRADO che va risolta applicando la formula

Formula risolutiva equazione di secondo grado



Ora si potranno verificare tre casi diversi:

  • La RETTA è ESTERNA rispetto alla CIRCONFERENZA.

    In altre parole la retta e la circonferenza non si incontrano in nessun punto, ovvero non hanno nessun punto in comune.

    Il sistema, visto sopra, non ammette soluzioni e ciò si verifica quando il DISCRIMINANTE della formula risolutiva è negativo.

    Δ < 0


    Retta esterna alla circonferenza



  • La RETTA è TANGENTE rispetto alla CIRCONFERENZA.

    In altre parole la retta e la circonferenza hanno un solo punto in comune.

    Il sistema, visto sopra, ammette una sola soluzione e ciò si verifica quando il DISCRIMINANTE della formula risolutiva è uguale a zero.

    Δ = 0


    Retta tangente alla circonferenza



    In questo caso, una volta trovato il valore della x con la formula risolutiva, basta sostituirlo nell'equazione della retta per avere anche il valore della y.

    I valori della x e della y trovati sono le coordinate del punto di intersezione.



  • La RETTA è SECANTE rispetto alla CIRCONFERENZA.

    In altre parole la retta e la circonferenza hanno due punti in comune.

    Il sistema, visto sopra, ammette due soluzioni e ciò si verifica quando il DISCRIMINANTE della formula risolutiva è maggiore di zero.

    Δ > 0


    Retta secante alla circonferenza



    In questo caso, una volta trovati i valori x1 e x2 con la formula risolutiva, basta sostituirli nell'equazione della retta per avere anche il valore di y1 e di y2.

    Le coordinate dei due punti di intersezione saranno P1(x1 ; y2) P2(x2 ; y2).


Esempio:

determinare i punti di intersezione, se esistono, tra la retta di equazione y = 2x + 3 e la circonferenza di equazione x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0.



Mettiamo a sistema l'equazione della retta e quella della circonferenza in modo da trovare, se ci sono, i punti di interesenzione:



Intersezione tra la retta e la circonferenza



Sostituendo la prima nella seconda equazione otteniamo

x2 + (2x + 3)2 +2x - 4(2x+3) - 5 = 0



x2 + 4x2 + 9 + 12x + 2x - 8x - 12 - 5 = 0

5x2 + 6x - 8 = 0.



Andiamo a vedere il valore assunto dal discriminante:



Δ = b2- 4ac



Δ = 62- 4 · 5 · (-8) = 36 + 160 = 196.



Poiché

Δ > 0

il sistema ammette due soluzioni, il che significa che la retta è secante alla circonferenza.



Ora cerchiamo le due soluzioni applicando la formula risolutiva:


Formula risolutiva equazione di secondo grado



Interesezione tra retta e circonferenza



Quindi avremo:

x1 = (-6 - 14)/ 10 = - 20/10 = -2



x2 = (-6 + 14)/ 10 = 8/10.



Ora sostituiamo all'equazione della retta i valori di x1 e di x2 in modo da trovare le ordinate corrispondenti



y = 2x + 3



y1 = 2 · (-2) + 3 = - 4 + 3 = -1



y2 = 2 · (8/10) + 3 = 8/5 + 3 = (8+15)/3 = 23/3.

 
 
 
Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

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