POSIZIONE DI UNA RETTA RISPETTO AD UNA CIRCONFERENZA
- Equazione della circonferenza
- Equazione della retta
- Posizioni di una retta rispetto ad una circonferenza
- Sistemi di equazioni di secondo grado
- Risoluzione delle equazioni di secondo grado complete
- Discriminante di un'equazione di secondo grado
Supponiamo di avere la CIRCONFERENZA di equazione
x2 + y2 + ax + by + c = 0.
Ora immaginiamo di avere la RETTA di equazione.
y = mx + n.
Vogliamo sapere se vi sono dei PUNTI di INTERSEZIONE tra la circonferenza e la retta.
Per risolvere questo tipo di problema è sufficiente mettere a sistema l'equazione della circonferenza con quella della retta e cercare quei punti, se ci sono, che sono comuni ad entrambi. Quindi avremo:
Per risolvere il sistema basta sostituire l'equazione della retta in quella della circonferenza. E avremo:
x2 + (mx + n)2 + ax + b (mx +n) + c = 0
x2 + m2x2 + n2 +2mnx + ax + b mx + bn + c = 0
x2 (1 + m2) + x (2mn+ a + bm) + (bn + c + n2)= 0.
Quella che abbiamo ottenuto è un'EQUAZIONE DI SECONDO GRADO che va risolta applicando la formula
Ora si potranno verificare tre casi diversi:
- La RETTA
è ESTERNA rispetto alla
CIRCONFERENZA.
In altre parole la retta e la circonferenza non si incontrano in nessun punto, ovvero non hanno nessun punto in comune.
Il sistema, visto sopra, non ammette soluzioni e ciò si verifica quando il DISCRIMINANTE della formula risolutiva è negativo.
Δ < 0
- La RETTA
è TANGENTE rispetto alla
CIRCONFERENZA.
In altre parole la retta e la circonferenza hanno un solo punto in comune.
Il sistema, visto sopra, ammette una sola soluzione e ciò si verifica quando il DISCRIMINANTE della formula risolutiva è uguale a zero.
Δ = 0
In questo caso, una volta trovato il valore della x con la formula risolutiva, basta sostituirlo nell'equazione della retta per avere anche il valore della y.
I valori della x e della y trovati sono le coordinate del punto di intersezione.
-
La RETTA
è SECANTE rispetto alla
CIRCONFERENZA.
In altre parole la retta e la circonferenza hanno due punti in comune.
Il sistema, visto sopra, ammette due soluzioni e ciò si verifica quando il DISCRIMINANTE della formula risolutiva è maggiore di zero.
Δ > 0
In questo caso, una volta trovati i valori x1 e x2 con la formula risolutiva, basta sostituirli nell'equazione della retta per avere anche il valore di y1 e di y2.
Le coordinate dei due punti di intersezione saranno P1(x1 ; y2) P2(x2 ; y2).
Esempio:
determinare i punti di intersezione, se esistono, tra la retta di equazione y = 2x + 3 e la circonferenza di equazione x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0.
Mettiamo a sistema l'equazione della retta e quella della circonferenza in modo da trovare, se ci sono, i punti di interesenzione:
Sostituendo la prima nella seconda equazione otteniamo
x2 + (2x + 3)2 +2x - 4(2x+3) - 5 = 0
x2 + 4x2 + 9 + 12x + 2x - 8x - 12 - 5 = 0
5x2 + 6x - 8 = 0.
Andiamo a vedere il valore assunto dal discriminante:
Δ = b2- 4ac
Δ = 62- 4 · 5 · (-8) = 36 + 160 = 196.
Poiché
Δ > 0
il sistema ammette due soluzioni, il che significa che la retta è secante alla circonferenza.
Ora cerchiamo le due soluzioni applicando la formula risolutiva:
Quindi avremo:
x1 = (-6 - 14)/ 10 = - 20/10 = -2
x2 = (-6 + 14)/ 10 = 8/10.
Ora sostituiamo all'equazione della retta i valori di x1 e di x2 in modo da trovare le ordinate corrispondenti
y = 2x + 3
y1 = 2 · (-2) + 3 = - 4 + 3 = -1
y2 = 2 · (8/10) + 3 = 8/5 + 3 = (8+15)/3 = 23/3.
