ESEMPI DI RISOLUZIONE DI EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI DEL TIPO

cos x = b

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nella lezione precedente abbiamo parlato delle EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI NEL COSENO, cioè di quelle equazioni goniometriche che si presentano nella forma

cos x = b.


In questa lezione vedremo alcuni esempi di risoluzione di tali equazioni.


Esempio 1:

cos x = 2

Prima di procedere dobbiamo verificare che b sia un valore compreso tra -1 ed 1 con -1 ed 1 inclusi. In altre parole dobbiamo verificare che

-1 ≤ b ≤ +1.


E' chiaro che, nel nostro caso, ciò non accade in quanto

b = 2

Quindi, la nostra equazione è IMPOSSIBILE.



Esempio 2:

cos x = -1/2

Anche in questo caso andiamo a controllare che

-1 ≤ b ≤ +1


Nel nostro caso ciò si verifica in quanto

b = -1/2.

Andiamo quindi a risolvere l'equazione.

Noi sappiamo che -1/2 è il coseno di un arco a noi noto, cioè dell'arco 2π/3.

La soluzione della nostra equazione, quindi, sarà:

x = ± 2π/3 + 2kπ

con

k Z.


Ovviamente avvremmo potuto scrivere il risultato anche in gradi. In questo caso avremmo dovuto scrivere:

x = ± 120° + k·360°

con

k Z.



Esempio 3:

cos x = 1/3

La prima verifica da fare è che il valore di b sia compreso tra -1 ed +1.

Nel nostro caso, dato che

b = 1/3

la condizione è verificata e possiamo procedere alla soluzione dell'equazione.

Però, il valore 1/3 NON è il COSENO di un ARCO NOTO.

Per risolvere la nostra equazione, esattamente come abbiamo fatto nel caso del seno, dobbiamo andare ad usare una CALCOLATRICE SCIENTIFICA e dobbiamo calcolare l'ARCOCOSENO in modo da trovare l'arco il cui coseno vale 1/3.

L'arcocoseno è indicato con uno dei seguenti simboli:

arccos

oppure

cos-1

Potremo trovare il valore dell'arco:

  • espresso in RADIANTI. In questo caso dobbiamo utilizzare la modalità RAD della nostra calcolatrice;
  • oppure espresso in GRADI SESSADECIMALI. In questo caso dobbiamo usare la modalità DEG della nostra calcolatrice.

Di conseguenza, la soluzione di una equazione goniometrica elementare nel coseno del tipo

cos x = b

è data da:

x = ± arccos (b) + 2kπ

Se, invece, vogliamo esprimere il risultato in gradi, avremo:

x = ± arccos (b) + k·360°


Nel nostro esempio, dobbiamo andare a trovare l'arco il cui coseno è pari ad 1/3.

Prendiamo la calcolatrice scientifica e:

  • selezioniamo la modalità RAD;
  • digitiamo 1/3 (nell'ipotesi, piuttosto improbabile che la nostra calcolatrice non dovesse accettare le frazioni eseguiamo prima la divisione

    1 : 3 = 0,333

    e digitiamo 0,333);
  • schiacciamo il tasto cos-1 oppure i tasti INV e cos a seconda di quelli che sono presenti sulla nostra calcolatrice.

Otterremo come risultato il valore di 1,230959417 che approssimiamo a 1,23 e che rappresenta la misura in radianti dell'angolo x.

Il nostro risultato sarà, quindi:

x = ± 1,23 + 2kπ

con

k Z.



Se, invece, vogliamo avere il risultato in gradi sessadecimali allora, sulla nostra calcolatrice scientifica:

  • selezioniamo la modalità GRAD;
  • digitiamo 1/3;
  • schiacciamo il tasto cos-1 oppure i tasti INV e cos a seconda dei casi.

Il risultato sarà 70,52877937 che approssimiamo a 70 e che rappresenta la misura in gradi sessadecimali dell'angolo x.

Il nostro risultato sarà, quindi:

x = ± 70° + k·360°;

con

k Z.



Nella prossima lezione vedremo alcuni casi particolari di equazioni goniometriche elementari nel coseno.



 
Per approfondire questo argomento, leggi:
 
 
 
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