ESEMPI DI RISOLUZIONE DI EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI DEL TIPO
cos x = b
- Equazioni goniometriche
- Equazioni goniometriche elementari del tipo cosen x = a
- Tabella dei valori delle funzioni goniometriche dei principali archi
Nella lezione precedente abbiamo parlato delle EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI NEL COSENO, cioè di quelle equazioni goniometriche che si presentano nella forma
cos x = b.
In questa lezione vedremo alcuni esempi di risoluzione di tali equazioni.
Esempio 1:
cos x = 2
Prima di procedere dobbiamo verificare che b sia un valore compreso tra -1 ed 1 con -1 ed 1 inclusi. In altre parole dobbiamo verificare che
-1 ≤ b ≤ +1.
E' chiaro che, nel nostro caso, ciò non accade in quanto
b = 2
Quindi, la nostra equazione è IMPOSSIBILE.
Esempio 2:
cos x = -1/2
Anche in questo caso andiamo a controllare che
-1 ≤ b ≤ +1
Nel nostro caso ciò si verifica in quanto
b = -1/2.
Andiamo quindi a risolvere l'equazione.
Noi sappiamo che -1/2 è il coseno di un arco a noi noto, cioè dell'arco 2π/3.
La soluzione della nostra equazione, quindi, sarà:
x = ± 2π/3 + 2kπ
con
k ∈ Z.
Ovviamente avvremmo potuto scrivere il risultato anche in gradi. In questo caso avremmo dovuto scrivere:
x = ± 120° + k·360°
con
Esempio 3:
cos x = 1/3
La prima verifica da fare è che il valore di b sia compreso tra -1 ed +1.
Nel nostro caso, dato che
b = 1/3
la condizione è verificata e possiamo procedere alla soluzione dell'equazione.
Però, il valore 1/3 NON è il COSENO di un ARCO NOTO.
Per risolvere la nostra equazione, esattamente come abbiamo fatto nel caso del seno, dobbiamo andare ad usare una CALCOLATRICE SCIENTIFICA e dobbiamo calcolare l'ARCOCOSENO in modo da trovare l'arco il cui coseno vale 1/3.
L'arcocoseno è indicato con uno dei seguenti simboli:
arccos
oppure
cos-1
Potremo trovare il valore dell'arco:
- espresso in RADIANTI. In questo caso dobbiamo utilizzare la modalità RAD della nostra calcolatrice;
- oppure espresso in GRADI SESSADECIMALI. In questo caso dobbiamo usare la modalità DEG della nostra calcolatrice.
Di conseguenza, la soluzione di una equazione goniometrica elementare nel coseno del tipo
cos x = b
è data da:
x = ± arccos (b) + 2kπ
Se, invece, vogliamo esprimere il risultato in gradi, avremo:
x = ± arccos (b) + k·360°
Nel nostro esempio, dobbiamo andare a trovare l'arco il cui coseno è pari ad 1/3.
Prendiamo la calcolatrice scientifica e:
- selezioniamo la modalità RAD;
- digitiamo 1/3 (nell'ipotesi, piuttosto improbabile che la nostra calcolatrice non dovesse accettare le frazioni eseguiamo prima la divisione
1 : 3 = 0,333
e digitiamo 0,333); - schiacciamo il tasto cos-1 oppure i tasti INV e cos a seconda di quelli che sono presenti sulla nostra calcolatrice.
Otterremo come risultato il valore di 1,230959417 che approssimiamo a 1,23 e che rappresenta la misura in radianti dell'angolo x.
Il nostro risultato sarà, quindi:
x = ± 1,23 + 2kπ
con
Se, invece, vogliamo avere il risultato in gradi sessadecimali allora, sulla nostra calcolatrice scientifica:
- selezioniamo la modalità GRAD;
- digitiamo 1/3;
- schiacciamo il tasto cos-1 oppure i tasti INV e cos a seconda dei casi.
Il risultato sarà 70,52877937 che approssimiamo a 70 e che rappresenta la misura in gradi sessadecimali dell'angolo x.
Il nostro risultato sarà, quindi:
x = ± 70° + k·360°;
con
Nella prossima lezione vedremo alcuni casi particolari di equazioni goniometriche elementari nel coseno.
