ESEMPI DI RISOLUZIONE DI EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI DEL TIPO
sen x = a
- Equazioni goniometriche
- Equazioni goniometriche elementari del tipo sen x = a
- Tabella dei valori delle funzioni goniometriche dei principali archi
Dopo aver visto, da un punto di vista teorico, come si risolvono le EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI del tipo
sen x = a
ora andremo a vedere alcuni esempi per comprendere meglio come procedere in pratica: vedremo 3 casi diversi che si possono presentare.
Esempio 1:
sen x = -3/2
La prima cosa che dobbiamo fare sempre, per risolvere questo tipo di equazioni, è verificare che
-1 ≤ a ≤ +1
per comprendere se l'equazione ammette o meno soluzioni.
Nel nostro caso
a = -3/2
cioè a è un valore minore di -1: quindi l'equazione è IMPOSSIBILE.
Esempio 2:
Per prima cosa controlliamo che
-1 ≤ a ≤ +1
Nel nostro caso la radice di 2 diviso 2 dà un risultato compreso tra -1 e +1: quindi l'equazione ammette soluzioni.
La radice di 2 diviso 2 è il seno di un arco a noi noto, ovvero è il seno dell'arco π/4.
Quindi, ricordando anche la periodicità della funzione seno, così come abbiamo visto anche nella lezione precedente, le soluzioni della nostra equazione saranno:
x = π/4 + 2k ∨ x = (π - π/4) + 2kπ
con
Chiaramente possiamo scrivere il risultato anche in gradi sessadecimali. In questo caso avremmo dovuto scrivere:
x = 45° + k·360° ∨ x = (180° - 45°) + k·360° = 135° + k·360°
con
Esempio 3:
sen x = 1/8
Come sempre, per prima cosa controlliamo che il valore di a sia compreso tra -1 e +1.
Nel nostro caso, poiché 1/8 è compreso tra i due valori siamo certi che l'equazione ammette delle soluzioni.
Però, il valore 1/8 NON è il SENO di un ARCO NOTO.
In questo caso, per poter risolvere l'equazione, dobbiamo utilizzare una CALCOLATRICE SCIENTIFICA ed in modo particolare dobbiamo andare ad utilizzare la funzione ARCOSENO che troviamo indicata con uno dei seguenti simboli:
arcosen
oppure
arcosin
o ancora
sen-1
o
sin-1
La funzione arcoseno mi permette di conoscere l'arco il cui seno ha un determinato valore: nel nostro caso ci permette di conoscere l'arco il cui seno vale 1/8.
Il valore che andremo a trovare sarà espresso:
- in RADIANTI se usiamo la modalità RAD presente nelle calcolatrici scientifiche;
- in GRADI SESSADECIMALI se usiamo la modalità DEG presente nelle calcolatrici scientifiche.
In entrambi i casi otterremo una soluzione approssimata.
Il risultato della nostra equazione, quindi, sarà:
x = arcosen (a) + 2kπ ∨ x = (π - arcosen (a)) + 2kπ
Oppure, scrivendo tutto in gradi, avremo:
x = arcosen (a) + k·360° ∨ x = (180° - arcosen (a)) + k·360°
Ora prendiamo la calcolatrice scientifica e:
- selezioniamo la modalità RAD;
- digitiamo la frazione 1/8 (nel raro caso in cui la calcolatrice non dovesse accettare le frazioni eseguiamo la divisione
1 : 8 = 0,125
e digitiamo 0,125); - schiacciamo il tasto sin-1 oppure i tasti INV e sin a seconda di quelli che troviamo sulla nostra calcolatrice.
Otterremo come risultato il valore di 0,1253278312 che approssimiamo a 0,125 e che rappresenta la misura in radianti dell'angolo x.
Il nostro risultato sarà, quindi:
x = 0,125 + 2kπ ∨ x = (π - 0,125) + 2kπ = (3,14 - 0,125) + 2kπ = 3,015 + 2kπ
con
Se, invece, vogliamo avere il risultato in gradi sessadecimali allora, sulla nostra calcolatrice scientifica:
- selezioniamo la modalità GRAD;
- digitiamo la cifra 0,125;
- schiacciamo il tasto sin-1 oppure i tasti INV e sin a seconda dei casi.
Otterremo come risultato il valore di 7,180755781 che approssimiamo a 7 e che rappresenta la misura in gradi sessadecimali dell'angolo x.
Il nostro risultato sarà, quindi:
x = 7° + k·360°; ∨ x = (180° - 7°) + k·360° = 173° + k·360°
con
Nella prossima lezione andremo a vedere alcuni casi particolari di equazione goniometrica elementare nel seno.
