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REGOLA di CARTESIO

 

Per comprendere  

 

In una equazione di secondo grado ridotta a forma tipica, si chiama PERMANENZA il succedersi di due segni uguali nei coefficienti di due termini contigui.

 

Esempi:

4x2  + 3x - 2 = 0

si dice che dal primo al secondo termine c'è una permanenza, poiché i segni del primo coefficiente (+4) e del secondo (+3) sono gli stessi.

 

-2x2  + x + 8 = 0

si dice che dal secondo al terzo termine c'è una permanenza, poiché i segni del secondo coefficiente (+1) e del termine noto  (+8) sono gli stessi.

 

 

In una equazione di secondo grado ridotta a forma tipica, si chiama VARIAZIONE il mutamento di segno nei coefficienti di due termini contigui.

 

Esempi:

4x2  + 3x - 2 = 0

si dice che dal secondo al terzo termine c'è una variazione, poiché il segno del secondo coefficiente (+3) e del termine noto (-2) sono opposti.

 

-2x2  + x + 8 = 0

si dice che dal primo al secondo termine c'è una variazione, poiché i segni del primo coefficiente (-2) e del secondo coefficiente  (+1) sono opposti.

 

Fatte queste premesse possiamo enunciare la REGOLA DI CARTESIO detta anche REGOLA DEI SEGNI.

Essa afferma che:

Se un'equazione di secondo grado, completa, ridotta a forma tipica, ha soluzioni

  • ad OGNI PERMANENZA corrisponde una SOLUZIONE NEGATIVA;

  • ad OGNI VARIAZIONE  corrisponde una SOLUZIONE POSITIVA.

Quando l'equazione ha UNA SOLUZIONE POSITIVA e UNA SOLUZIONE NEGATIVA, delle due soluzioni ha VALORE ASSOLUTO MAGGIORE la positiva o la negativa, a seconda che i SEGNI DEI PRIMI DUE TERMINI presentano una VARIAZIONE o una PERMANENZA.

 

Cerchiamo di comprenderne il perché.

Partiamo dall'equazione di secondo grado completa e ridotta a forma tipica, ovvero:

ax2  + bx + c = 0.

 

Ipotizziamo il caso in cui

Δ = b2 - 4ac > 0.

L'equazione ha due soluzioni x1 e x2.

Inoltre chiamiamo con S la somma di x1 e x2 e P il prodotto di x1 e x2:

S = x1 + x2 

P = x1x2.

 

Noi sappiamo, anche, da una precedente lezione che:

S = -b/a

P = c/a .

 

Ora si potranno avere quattro casi distinti:

a > 0

b > 0

c > 0

2 permanenze S = -b/a < 0 

P = c/a > 0

Essendo P > 0 e poiché P = x1x2 le due radici hanno lo stesso segno.

Ma poiché S < 0 e S = x1 + x2 e le due radici devono avere lo stesso segno, significa che esse sono entrambe negative.

 

2 permanenze = 2 soluzioni negative
a > 0

b < 0

c < 0

1 variazione

1 permanenza

S = -b/a > 0 

P = c/a < 0

Essendo P < 0 e poiché P = x1x2 le due radici hanno segno opposto.

Ma poiché S > 0 e S = x1 + x2 la radice con segno positivo deve avere valore assoluto maggiore.

 

Tra il primo e il secondo termine c'è una variazione: delle due soluzioni ha valore assoluto maggiore quella positiva
a > 0

b > 0

c < 0

1 permanenza

1 variazione

S = -b/a < 0 

P = c/a < 0

Essendo P < 0 e poiché P = x1x2 le due radici hanno segno opposto.

Ma poiché S < 0 e S = x1 + x2 la radice con segno negativo deve avere valore assoluto maggiore.

 

Tra il primo e il secondo termine c'è una permanenza: delle due soluzioni ha valore assoluto maggiore quella negativa
a > 0

b < 0

c > 0

2 variazioni S = -b/a > 0 

P = c/a > 0

Essendo P > 0 e poiché P = x1x2 le due radici hanno lo stesso segno.

Ma poiché S > 0 e S = x1 + x2 e le due radici devono avere lo stesso segno, significa che esse sono entrambe positive.

 

2 variazioni = 2 soluzioni positive

I casi nei quali a è negativo sono riconducibili ai quattro precedenti, cambiando di segno all'equazione.

 

Come esempio applichiamo la regola di Cartesio alla seguente equazione:

2x2  - 3x + 1 = 0.

 

Innanzitutto deve essere

Δ = b2 - 4ac > 0.

Nel nostro caso la  condizione è verifica, infatti:

Δ = (-3)2 - 4 = 9 - 8 = 1.

Possiamo affermare che

a = +2 > 0

b = -3 < 0

c = +1 > 0

2 variazioni 2 soluzioni positive

 

Verifichiamolo:

Regola di Cartesio

 

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