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DETERMINAZIONE di DUE NUMERI di cui conosciamo SOMMA e PRODOTTO

 

Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo visto come il trinomio

x2 + bx +c

può essere scritto nel modo seguente:

x2 -x(x1 +x2) +x1x2.

Dove

  • il SECONDO COEFFICIENTE è la SOMMA delle RADICI;

  • il TERMINE NOTO è il PRODOTTO delle RADICI.

 

E' abbastanza evidente che, se noi abbiamo due numeri, di cui non conosciamo il valore, che chiameremo x1 e x2, di cui però conosciamo la somma e il prodotto, per trovare i nostri numeri dobbiamo risolvere l'equazione 

x2 -x(x1 +x2) +x1x2 = 0.

 

Semplifichiamo il nostro trinomio ponendo

S = x1 +x2

e

P = x1x2.

 

Quindi possiamo scrivere:

x2 -x(x1 +x2) +x1x2

= x2 - Sx + P.

 

 

Esempio:

calcolare due numeri la cui somma è 5 e il cui prodotto è 6.

 

Impostiamo l'equazione:

x2 - Sx + P = 0

sostituiamo ad 

S la somma dei due numeri, cioè 5 e a P il prodotto dei due numeri, ovvero 6:

x2 - 5x + 6 = 0.

 

Ora cerchiamo le radici dell'equazione. Esse sono:

Determinazione di due numeri di cui sono noti somma e prodotto

I numeri da noi cercati sono, quindi, 2 e 3: infatti la loro somma è pari a 5 e il loro prodotto è pari a 6.

 

Va detto, però, che affinché esistano due numeri la cui somma è pari ad S e il cui prodotto è pari a P è necessario che il DISCRIMINANTE dell'equazione 

x2 - Sx + P = 0

 sia MAGGIORE di ZERO o tutt'al più UGUALE A ZERO (in questo secondo caso i due numeri cercati sono uguali).

Altrimenti l'equazione non ammette soluzioni e dunque, i due numeri cercati, non esistono.

 

E' necessario, cioè che:

ma poiché 

b2 = (-S)2 = S2

4ac = 4P 

possiamo scrivere:

b2 - 4ac = S2 - 4P.

 

Poiché il discriminante deve essere maggiore di zero, possiamo scrivere che

S2 - 4P > 0

ovvero 

-4P  > -S2

4P < S2

< S2/4

< S2/22

< (S/2)2.

 

Il DISCRIMINANTE, invece, è NULLO se 

= (S/2)2.

 

Quindi quando il QUADRATO della SEMISOMMA (S/2) dei numeri dati è UGUALE al PRODOTTO dei numeri dati, essi sono uguali.

 

Esempio:

cercare due numeri la cui somma è 16 e il cui prodotto è 64.

Quindi

S = 16

P = 64

(S/2)2 = (16/2)2 = (8)2 = 64 = P.

I due numeri cercati sono uguali e si tratta del numero 8.

 

 

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