DETERMINAZIONE DI DUE NUMERI DI CUI CONOSCIAMO SOMMA E PRODOTTO
- Equazioni di secondo grado ad una incognita
- Discriminante di un'equazione di secondo grado
- Fattorizzazione di un trinomio di secondo grado
- Relazione tra i coefficienti e le radici di un'equazione di secondo grado
- Equazione di secondo grado avente date soluzioni
- Disequazioni intere di primo grado
Nella lezione precedente abbiamo visto come il trinomio
x2 + bx +c
può essere scritto nel modo seguente:
x2 -x(x1 +x2) +x1x2.
Dove
- il SECONDO COEFFICIENTE è la SOMMA delle RADICI;
- il TERMINE NOTO è il PRODOTTO delle RADICI.
E' abbastanza evidente che, se noi abbiamo due numeri, di cui non conosciamo il valore, che chiameremo x1 e x2, di cui però conosciamo la somma e il prodotto, per trovare i nostri numeri dobbiamo risolvere l'equazione
x2 -x(x1 +x2) +x1x2 = 0.
Semplifichiamo il nostro trinomio ponendo
S = x1 +x2
e
P = x1x2.
Quindi possiamo scrivere:
x2 -x(x1 +x2) +x1x2 =
= x2 - Sx + P.
Esempio:
calcolare due numeri la cui somma è 5 e il cui prodotto è 6.
Impostiamo l'equazione:
x2 - Sx + P = 0
sostituiamo ad
S la somma dei due numeri, cioè 5 e a P il prodotto dei due numeri, ovvero 6:
x2 - 5x + 6 = 0.
Ora cerchiamo le radici dell'equazione. Esse sono:
I numeri da noi cercati sono, quindi, 2 e 3: infatti la loro somma è pari a 5 e il loro prodotto è pari a 6.
Va detto, però, che affinché esistano due numeri la cui somma è pari ad S e il cui prodotto è pari a P è necessario che il DISCRIMINANTE dell'equazione
x2 - Sx + P = 0
sia MAGGIORE di ZERO o tutt'al più UGUALE A ZERO (in questo secondo caso i due numeri cercati sono uguali).
Altrimenti l'equazione non ammette soluzioni e dunque, i due numeri cercati, non esistono.
E' necessario, cioè che:
ma poiché
b2 = (-S)2 = S2
e
4ac = 4P
possiamo scrivere:
b2 - 4ac = S2 - 4P.
Poiché il discriminante deve essere maggiore di zero, possiamo scrivere che
ovvero
-4P > -S2
4P < S2
P < S2/4
P < S2/22
P < (S/2)2.
Il DISCRIMINANTE, invece, è NULLO se
P = (S/2)2.
Quindi quando il QUADRATO della SEMISOMMA (S/2) dei numeri dati è UGUALE al PRODOTTO dei numeri dati, essi sono uguali.
Esempio:
cercare due numeri la cui somma è 16 e il cui prodotto è 64.
Quindi
S = 16
P = 64
(S/2)2 = (16/2)2 = (8)2 = 64 = P.
I due numeri cercati sono uguali e si tratta del numero 8.
