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EQUAZIONE di SECONDO GRADO avente DATE SOLUZIONI

 

Per comprendere  

 

Immaginiamo di avere un TRINOMIO di secondo grado del tipo

 

ax2 +bx + c = 0.

 

In una lezione precedente abbiamo appreso che, nel caso in cui il DISCRIMINANTE è POSITIVO tale trinomio può essere scritto sotto forma del prodotto:

ax2 +bx +c = a (x - x1) (x - x2).

Ora poniamo 

a = 1.

Il nostro trinomio diventa

x2 + bx +c = (x - x1) (x - x2).

 

Eseguiamo il prodotto indicato a secondo membro e avremo (si legga anche Relazioni tra coefficienti e radici di un'equazione di secondo grado):

x2 +bx +c = x2 -xx2 -xx1 +x1x2.

 

Mettiamo in evidenza  -x tra il primo e il secondo addendo:

x2 +bx +c = x2 -x(x2 +x1) +x1x2.

che possiamo scrivere anche come:

x2 -x(x1 +x2) +x1x2.

 

Quindi un TRINOMIO di SECONDO GRADO, il cui COEFFICIENTE del TERMINE di SECONDO GRADO è 1, può essere scritto come:

  • l'INCOGNITA al QUADRATO;

  • MENO l'INCOGNITA che MOLTIPLICA la SOMMA delle RADICI;

  • PIU' il PRODOTTO DELLE RADICI.

 

La relazione appena trovata risulta utile quando conosciamo due numeri e dobbiamo risalire all'equazione di cui essi sono le radici.

 

Esempio:

vogliamo scrivere l'equazione di secondo grado che ha per soluzioni 1 e 2.

Ciò significa che:

x1 = 1

x2 = 2.

Quindi

x2 -x(x1 +x2) +x1x2 = x2 - x(1 +2) + 1·2=

x2 - x - 2x + 2 =  x2 - 3x + 2

Possiamo verificare che le soluzioni di questa equazione sono 1 e 2.

 

Vediamo un altro esempio: vogliamo scrivere l'equazione di secondo grado che ha per soluzioni -2 e +3.

Ciò significa che:

x1 = -2

x2 = +3.

Quindi

x2 -x(x1 +x2) +x1x2 = x2 - x(-2 + 3) + (-2)·(3)=

x2 +2x - 3x -6 =  x -x - 6

Anche in questo caso possiamo verificare che le soluzioni di questa equazione sono -2 e +3.

 

Quindi possiamo affermare che per avere un'equazione di secondo grado, le cui soluzioni siano due numeri dati, si prende:

  • il PRIMO COEFFICIENTE uguale all'UNITA';

  • il SECONDO COEFFICIENTE uguale alla SOMMA dei NUMERI CAMBIATA di SEGNO;

  • il TERMINE NOTO uguale al PRODOTTO dei NUMERI dati.

 

 

 

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