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FORMULA RISOLUTIVA RIDOTTA

 

Per comprendere  

 

In una  precedente lezione abbiamo visto che la FORMULA RISOLUTIVA dell'equazione di secondo grado in una incognita è la seguente:

Formula risolutiva equazione secondo grado

 

Ora immaginiamo che nell'equazione completa di secondo grado

 

ax2 + bx + c = 0

b sia un NUMERO INTERO PARI.

 

Quindi scriviamo b come 2k, ovvero:

b = 2k.

 

Sostituiamo nell'equazione precedente e abbiamo:

ax2 + 2kx + c = 0.

 

 

Di conseguenza la FORMULA RISOLUTIVA diventa:

Formula risolutiva ridotta

 

Eseguiamo il quadrato indicato sotto radice e abbiamo:

Formula risolutiva ridotta

 

Sotto radice, mettiamo in evidenza il 4, e abbiamo:

Formula risolutiva ridotta

 

Portiamo il 4 fuori dalla radice:

Formula risolutiva ridotta

 

Scriviamo la nostra formula come la somma di due frazioni:

Formula risolutiva ridotta

 

Semplifichiamo entrambe le frazioni:

Formula risolutiva ridotta

 

Sommiamo le frazioni e otteniamo:

Formula risolutiva ridotta

 

Questa è la FORMULA RISOLUTIVA RIDOTTA.

 

Essendo

b = 2k

possiamo anche scrivere che

k = b/2.

 

Quindi la FORMULA RISOLUTIVA RIDOTTA può essere scritta anche nel modo seguente:

 

Formula risolutiva ridotta

 

Ricordiamo che l'uso della formula ridotta è ammissibile solamente se b è un NUMERO INTERO POSITIVO.

 

Perché usare la formula ridotta, in questi casi, anziché quella già illustrata nelle precedenti lezioni? Semplicemente perché essa permette di semplificare i calcoli, ma l'impiego dell'una o dell'altra formula è indifferente dato che entrambe portano ai medesimi risultati.

 

Osserviamo la nostra formula:

Formula risolutiva ridotta

k2 - ac

ovvero

(b/2)2 - ac

è detto DISCRIMINANTE RIDOTTO

e si indica anche col simbolo

Δ/4

detto DELTA QUARTI.

 

Infatti, il DELTA della FORMULA RISOLUTIVA NORMALE è

b2 - 4ac.

 

Mentre, il DELTA della FORMULA RISOLUTIVA RIDOTTA è

(b/2)2 - ac.

 

Prendiamo il delta 

Delta quarti

 

Dividiamo entrambi i membri per 4:

Delta quarti

 

che può essere scritta anche come:

Delta quarti

 

Come si può notare, dunque, il delta della formula ridotta è la quarta parte del delta della formula normale.

 

Per il DELTA QUARTI valgono le stesse considerazioni che abbiamo fatto per il DELTA:

  1. esso può essere POSITIVO e allora l'equazione ammette DUE SOLUZIONI, ovvero:

Formula risolutiva ridotta

 

  1. esso può essere UGUALE A ZERO e allora l'equazione ammette UNA SOLA SOLUZIONE:

Formula risolutiva ridotta

 

  1. esso può essere NEGATIVO e allora l'equazione NON AMMETTE SOLUZIONI

 

Vediamo, con un esempio, come applicare la FORMULA RIDOTTA.

x2 - 6x - 7 = 0.

 

Nel nostro esempio 

b = -6.

Essendo esso un NUMERO INTERO PARI possiamo applicare la formula ridotta. Avremo:

Formula risolutiva ridotta

 

 

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