DISEQUAZIONI IRRAZIONALI FRATTE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

In questa lezione ci occuperemo delle DISEQUAZIONI IRRAZIONALI FRATTE. Cioè di disequazioni nelle quali:


Alcuni esempi di questo tipo di disequazioni sono:

Disequazioni irrazionali fratte



Ovviamente, le disequazioni irrazionali fratte potranno assumere anche un aspetto più complesso, ma di questo parleremo più avanti. Ora ci soffermeremo sulle disequazioni irrazionali fratte che hanno una forma riconducibile ad una di quelle appena esposte. Notiamo che, in tutti e tre i casi, a SECONDO MEMBRO abbiamo lo ZERO.



Nel risolvere questo tipo di disequazioni dobbiamo sempre ricordare che:

  • se ci sono dei radicali con INDICE PARI, occorre porre la condizione che i relativi RADICANDI siamo MAGGIORI o UGUALI a ZERO. Ricordiamo che se l'indice dei radicali è dispari non c'è bisogno di porre alcuna condizione;
  • altra condizione è che il DENOMINATORE della FRAZIONE sia diverso da zero;
  • infine si va a STUDIARE il SEGNO della FRAZIONE.



Vediamo alcuni esempi.

1° esempio:

Disequazioni irrazionali fratte



La disequazione contiene un radicale al numeratore, l'incognita a denominatore, mentre al secondo membro abbiamo solo lo zero.

Prima osservazione. Il radicale presente a numeratore è di indice pari. Quindi la prima condizione da porre è che il radicando sia maggiore o uguale a zero. Ovvero:

x + 1 ≥ 0.



La seconda condizione da porre è che il denominatore sia diverso da zero:

x2 - x ≠ 0.



Poste queste condizioni possiamo studiare il segno della frazione.

Questo significa risolvere il seguente sistema:

Disequazioni irrazionali fratte



Risolviamo la prima disequazione:

x ≥ - 1.



Risolviamo la seconda disequazione:

Disequazioni irrazionali fratte



Passiamo all'ultima disequazione:

Disequazioni irrazionali fratte

Numeratore: Disequazioni irrazionali fratte

che equivale a risolvere

x + 1 > 0

x > - 1

Denominatore: x2 - x > 0

Disequazioni irrazionali fratte



x < 0

x > 1

Segno della frazione:

Disequazioni irrazionali fratte

Soluzione della disequazione:

x ≤ - 1

0 ≤ x ≤ 1.

Quindi, sostituendo le soluzioni al nostro sistema, esso diventa:

Disequazioni irrazionali fratte



Le soluzioni del sistema sono:

Disequazioni irrazionali fratte



La soluzione della disequazione è data dalle

0 < x < 1.



Il modo di procedere nella risoluzione delle disequazioni irrazionali fratte è lo stesso anche nel caso in cui il radicale si trova a denominatore o il radicale si trova sia a numeratore che a denominatore.



E se a secondo membro non abbiamo lo zero?

Dopo aver posto le condizioni relative:

  • ai RADICALI DI INDICE PARI, i cui radicandi devono essere maggiori o uguali a zero;
  • e al DENOMINATORE, che deve essere diverso da zero;

bisogna ELEVARE primo e secondo membro all'INDICE del radicale. Quindi si porta il secondo membro a primo, cambiandogli di segno e si procede con i conteggi.

Vediamo un esempio:

Disequazioni irrazionali fratte

Il sistema da risolvere sarà:

Disequazioni irrazionali fratte



Prima disequazione:

Numeratore: 4x+2 ≥ 0 --> 4 x ≥-2 --> x≥-2/4 --> x ≥-1/2

Denominatore: x-1 >0 --> x > 1

Segno della frazione:

Disequazioni irrazionali fratte

soluzione

x ≤ -1/2

x > 1.

Seconda disequazione: x - 1 ≠ 0 ≥ --> x ≠1.

Terza disequazione:

Disequazioni irrazionali fratte

Il numeratore è un numero positivo quindi la frazione sarà positiva solamente quando anche il denominatore è positivo. Ovvero quando:

x - 1 > 0

x > 1.



Soluzione del sistema:

Disequazioni irrazionali fratte

x > 1.

 
 
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