PROPORZIONALITA' INVERSA

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Consideriamo i due insiemi:

A = {2, 3, 4, 5, 6, 8}

B = {60, 40, 30, 24, 20, 15} .



Chiamiamo CORRISPONDENTI un numero del primo insieme e un numero del secondo insieme che occupano lo stesso posto.

Quindi sono corrispondenti:

Elementi CORRISPONDENTI
A B
2 60
3 40
4 30
5 24
6 20
8 15


Notiamo che ad OGNI ELEMENTO dell'insieme A corrisponde un SOLO ELEMENTO dell'insieme B, e VICEVERSA. Quindi la corrispondenza tra l'insieme A e l'insieme B è una CORRISPONDENZA BIUNIVOCA.



Inoltre notiamo che il PRODOTTO tra un qualsiasi elemento di B e il suo corrispondente elemento di A è sempre lo stesso, cioè diciamo che tale prodotto è COSTANTE.

Infatti:

Elementi CORRISPONDENTI
A B BxA
2 60 60 x 2 = 120
3 40 40 x 3 = 120
4 30 30 x 4 = 120
5 24 24 x 5 = 120
6 20 20 x 6 = 120
8 15 15 x 8 = 120


Il numero 120 che abbiamo ottenuto moltiplicando ogni elemento di B per il corrispondente elemento di A prende il nome di COEFFICIENTE DI PROPORZIONALITA' INVERSA da A a B.



Possiamo osservare che OGNI ELEMENTO di B si ottiene DIVIDENDO il COEFFICIENTE DI PROPORZIONALITA' INVERSA per il suo elemento CORRISPONDENTE in A.

Infatti:

Elementi CORRISPONDENTI
A B 120/A
2 60 120/ 2 = 60
3 40 120/ 3 = 40
4 30 120/ 4 = 30
5 24 120/ 5 = 24
6 20 120/ 6 = 20
8 15 120/ 8 = 15


Quando, come nell'esempio che abbiamo appena visto:

  • fra due insiemi di numeri A e B vi è una CORRISPONDENZA BIUNIVOCA;
e
  • il PRODOTTO di un QUALSIASI ELEMENTO di B per il suo CORRISPONDENTE in A è COSTANTE

si dice che i due gruppi di numeri che costituiscono rispettivamente i due insiemi sono INVERSAMENTE PROPORZIONALI o che si ha una PROPORZIONALITA' INVERSA da A a B.



Ora riprendiamo la nostra tabella degli elementi corrispondenti:

Elementi CORRISPONDENTI
A B
2 60
3 40
4 30
5 24
6 20
8 15


Prendiamo due numeri a caso dell'insieme A, ad esempio:

3 e 6.

Il rapporto tra questi numeri è:

3/6 = 1/2.



Ora prendiamo i rispettivi CORRISPONDENTI, ovvero:

40 e 20.

Il rapporto tra questi numeri è:

40/20.

Il RAPPORTO INVERSO sarà:

20/40.

Semplificando avremo:

20/40 = 1/2.

Quindi, il rapporto tra 3 e 6 è uguale al rapporto inverso dei rispettivi corrispondenti 40 e 20 e di conseguenza possiamo scrivere:

3 : 6 = 20 : 40.



Prendiamo altri due numeri a caso dell'insieme A, ad esempio:

4 e 6.

Il rapporto tra questi numeri è:

4/6 = 2/3.



Ora prendiamo i rispettivi CORRISPONDENTI, ovvero:

30 e 20.

Il RAPPORTO INVERSO sarà:

20/30.

Semplificando avremo:

20/30 = 2/3.

Il rapporto tra 4 e 6 è uguale al rapporto inverso dei rispettivi corrispondenti 30 e 20. Quindi possiamo scrivere:

4 : 6 = 20 : 30.



Possiamo continuare con gli altri numeri e vedremmo che tale situazione si verifica sempre.



Quindi possiamo dire che se DUE INSIEMI di numeri sono INVERSAMENTE PROPORZIONALI, il RAPPORTO di due QUALSIASI NUMERI del PRIMO INSIEME è UGUALE al RAPPORTO INVERSO dei CORRISPONDENTI numeri del SECONDO INSIEME.



Ora consideriamo l'insieme formato dai NUMERI INVERSI di A.

Come sappiamo un NUMERO INTERO può essere considerato come una FRAZIONE avente per DENOMINATORE L'UNITA'. Il suo INVERSO, quindi è l'UNITA' FRAZIONARIA.

Quindi il nostro insieme, che chiameremo C, è:

C = {1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/8}.



Ora esaminiamo l'insieme C e l'insieme B:

Elementi CORRISPONDENTI
C B
1/2 60
1/3 40
1/4 30
1/5 24
1/6 20
1/8 15


Notiamo che questi due insiemi sono DIRETTAMENTE PROPORZIONALI, infatti:

  • fra i due insiemi di numeri C e B vi è una CORRISPONDENZA BIUNIVOCA;
e
  • il RAPPORTO di un QUALSIASI ELEMENTO di B e il suo CORRISPONDENTE in C è COSTANTE.

Infatti:

Elementi CORRISPONDENTI
C B B/C
1/22 60 60 : 1/2 = 120
1/3 40 40 : 1/3 = 120
1/4 30 30 : 1/4 = 120
1/5 24 24 : 1/5 = 120
1/6 20 20 : 1/6 = 120
1/8 15 15 : 1/8 = 120


Quindi possiamo affermare che, se due INSIEMI sono INVERSAMENTE PROPORZIONALI, ciascuno di essi è DIRETTAMENTE PROPORZIONALE all'INSIEME FORMATO DAGLI INVERSI dei numeri corrispondenti dell'altro.

 
 
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