ARCOTANGENTE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Continuiamo l'esame delle funzioni goniometriche inverse, occupandoci dell'ARCOTANGENTE.


Ricordiamo che la FUNZIONE TANGENTE è:

y = tan α


Come è noto la TANGENTE può assumere qualsiasi valore appartenente all'insieme dei numeri reali R: questo è il suo CODOMINIO.

Mentre la tangente NON è DEFINITA per gli angoli di ampiezza (π/2)+kπ: quindi il suo DOMINIO è dato dalle x ≠ (π/2)+kπ.

Ecco come si presenta il grafico della funzione tangente:

Grafico della funzione tangente



Per poter invertire la funzione tangente occorre limitare il suo dominio in modo da rendere la funzione biunivoca: andremo, quindi, a considerare l'intervallo aperto -π/2, +π/2, cioè:

]-π/2, +π/2[

che si legge

intervallo aperto - pi greco mezzi + pi greco mezzi.

Dire che l'intervallo è aperto significa dire che i valori -π/2 e +π/2 sono esclusi.

Grafico della funzione tangente




La FUNZIONE INVERSA della TANGENTE si chiama ARCOTANGENTE e si indica con i simboli:

arcotan

oppure

arcotg

che si leggono entrambi

arcotangente.

Ma l'arcotangente può essere indicata anche con i simboli:

tan-1

oppure

tg-1

che si leggono entrambi

tangente alla meno 1.

Supponiamo di avere un angolo, che chiamiamo y la cui tangente vale x, ovvero:

x = tan y

La funzione inversa sarà:

y = arcotan x


In altre parole l'ARCOTANGENTE è l'ANGOLO che ha un determinato valore di tangente.



Vediamo, adesso, come possiamo costruire il GRAFICO della FUNZIONE ARCOTANGENTE.

Iniziamo col prendere il GRAFICO della FUNZIONE TANGENTE nell'intervallo ]-π/2, +π/2[:

Grafico della funzione arcotangente



Ora disegniamo la BISETTRICE del PRIMO e del TERZO quadrante, ovvero la retta di equazione

y = x

Grafico della funzione arcotangente



e, così come abbiamo fatto nelle lezioni precedenti, andiamo a disegnare la curva SIMMETRICA a    y = tan x rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante:

Grafico della funzione arcotangente



Quello che abbiamo ottenuto è il GRAFICO della FUNZIONE ARCOTANGENTE che riportiamo nell'immagine sottostante dove viene evidenziato come la funzione arcotangente sia stata ottenuta dalla funzione tangente scambiando i valori della x con quelli della y.

Grafico della funzione arcotangente



E' evidente, quindi, che la FUNZIONE ARCOTANGENTE ha come

DOMINIO: l'insieme dei numeri reali

CODOMINIO: ] -π/2 , +π/2 [.

 
 
 
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