ARCOSENO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nella lezione precedente abbiamo richiamato il concetto di funzione inversa e abbiamo detto che le FUNZIONI GONIOMETRICHE sono INVERTIBILI solamente RESTRINGENDO il DOMINIO della funzione ad un intervallo di angoli in modo che la funzione goniometrica diventi biunivoca.

Fatta questa premessa, in questa lezione ci occuperemo dell'ARCOCOSENO.


Partiamo dalla funzione:

y = sen α


Come sappiamo il SENO dell'angolo α può assumere solamente valori compresi tra -1 e 1: questo è il suo CODOMINIO.

La funzione seno è definita per qualsiasi numero reale: l'insieme dei numeri reali R è il suo DOMINIO.

Queste caratteristiche emergono chiaramente dal grafico della funzione seno:

Grafico della funzione seno



Affinché la funzione seno sia invertibile è necessario limitare il suo dominio in modo da rendere la funzione biunivoca: andremo, quindi, a considerare l'intervallo -π/2, π/2, cioè:

[-π/2, π/2]

Infatti, andando oltre questo intervallo (sia a destra che a sinistra) accade che ad uno stesso valore di y sono associati due valori di x come possiamo vedere, ad esempio, con i punti A e B e con i punti C e D.

Grafico della funzione seno




La FUNZIONE INVERSA del SENO si chiama ARCOSENO e si indica con i simboli:

arcosen

oppure

arcosin

o ancora

asin

che si leggono tutti

arcoseno.

Può essere indicato, però, anche nel modo seguente:

sen-1

oppure

sin-1

che si leggono entrambi

seno alla meno 1.

Supponiamo di avere un angolo, che chiamiamo y il cui seno vale x, ovvero:

x = sen y

La funzione inversa sarà:

y = arcosen x


In altre parole l'ARCOSENO è l'ANGOLO che ha un determinato valore di seno.



Vediamo, adesso, come possiamo costruire il GRAFICO della FUNZIONE ARCOSENO.

Iniziamo col prendere il GRAFICO della FUNZIONE SENO nell'intervallo [-π/2 , π/2]:

Grafico della funzione arcoseno



Ora disegniamo la BISETTRICE del PRIMO e del TERZO quadrante, ovvero la retta di equazione

y = x

Grafico della funzione arcoseno



Ora disegniamo la curva SIMMETRICA a    y = sen x rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante:

Grafico della funzione arcoseno



Quello che abbiamo ottenuto è il GRAFICO della FUNZIONE ARCOSENO che riportiamo nell'immagine sottostante dove viene evidenziato come la funzione arcocoseno sia stata ottenuta dalla funzione seno scambiando i valori della x con quelli della y.

Grafico della funzione arcoseno



E' evidente, quindi, che la FUNZIONE ARCOSENO ha come

DOMINIO: [ -1 , +1 ]

che si legge

intervallo chiuso -1, +1

CODOMINIO: [ -π/2 , +π/2 ]

che si legge

intervallo chiuso -pi greco mezzi, +pi greco mezzi

 
 
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