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POTENZA di un BINOMIO 

 

Per comprendere  

 

Parlando del cubo di un binomio abbiamo visto che esso può essere trovato moltiplicando il quadrato del binomio per il binomio stesso. Ovvero:

 

Cubo di un binomio

 

Allo stesso modo potremmo scrivere:

 

Binomio elevato alla quarta

 

E ancora:

Binomio elevato alla quinta

 

E potremmo andare avanti così.

 

Quindi, se noi dovessimo trovare (a+b)8 dovremmo:

  • calcolare il quadrato di a+b;

  • moltiplicare il quadrato ottenuto per a+b in modo da avere il suo cubo;

  • moltiplicare il cubo di a+b per se stesso in modo da avere il suo valore elevato alla quarta;

  • moltiplicare il valore di (a+b)4 per se stesso in modo da avere (a+b)5;

  • moltiplicare il valore di (a+b)5 per se stesso in modo da avere (a+b)6;

  • moltiplicare il valore di (a+b)6 per se stesso in modo da avere (a+b)7;

  • moltiplicare il valore di (a+b)7 per se stesso in modo da avere (a+b)8.

 

E' evidente che si tratta di un procedimento molto lungo e laborioso. Tuttavia esiste una regola che ci permette di calcolare la POTENZA di un BINOMIO 

(a +b)n

qualunque sia il valore di n.

 

Lo sviluppo di

(a +b)n

con n intero e positivo

è un:

  • POLINOMIO OMOGENEO cioè un polinomio che ha tutti i TERMINI dello stesso grado;

  • il cui GRADO è n;

  • ORDINATO secondo le potenze DECRESCENTI di a e CRESCENTI di b.

 

I COEFFICIENTI dei termini di tale polinomio sono:

  • il COEFFICIENTE del PRIMO TERMINE è 1;

  • il COEFFICIENTE del SECONDO TERMINE è n;

  • i COEFFICIENTI degli ALTRI TERMINI si ottengono MOLTIPLICANDO il COEFFICIENTE del TERMINE PRECEDENTE per l'ESPONENTE che ha a in questo termine AUMENTATO di 1 e DIVIDENDO il prodotto ottenuto per l'ESPONENTE che ha b, nello stesso termine.

 

Vediamo di capire quanto detto attraverso un esempio. Vogliamo calcolare

(a + b)6.

 

Innanzitutto la nostra potenza sarà un polinomio omogeneo, cioè un polinomio i cui termini saranno tutti dello stesso grado e pari ad n, cioè nel nostro caso pari a 6.

Inoltre il polinomio dovrà essere ordinato secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b.

 

Quindi, la parte letterale dei termini del polinomio che stiamo cercando sarà:

(a + b)6= a6b0 + a5b1 + a4b2 + a3b3 + a2b4 + a1b5 + a0b6 =

= a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6.

 

Ora dobbiamo trovare i coefficienti dei vari termini.

Il primo coefficiente cercato è 1. Quindi:

= 1a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6 =

= a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6.

 

Il secondo coefficiente cercato è uguale all'esponente n, cioè è uguale a 6. Quindi

= a6 + 6a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6.

 

Gli altri coefficienti saranno uguali al prodotto tra il coefficiente del termine precedente per l'esponente che ha a in questo termine aumentato di 1, diviso per l'esponente che ha b nel termine. 

Vediamo allora il coefficiente del terzo termine.

coefficiente dei termini successivi ai primi due

 

[6 x (4+1)] / 2 = 30/2 = 15

 

= a6 + 6a5b + 15a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6.

 

Il coefficiente del quarto termine sarà:

[15 x (3+1)] / 3 = 60/3 = 20

 

= a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + a2b4 + ab5 + b6.

 

Il coefficiente del quinto termine sarà:

[20 x (2+1)] /4  = 60/4 = 15

 

= a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + ab5 + b6.

 

Il coefficiente del sesto termine sarà:

[15 x (1+1)] /5  = 30/4 = 6

 

= a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6.

 

L'ultimo coefficiente sarà:

[6 x (0+1 )] /6  = 6/6 = 1

 

= a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6.

 

 

Possiamo osservare che i COEFFICIENTI ESTREMI  e quelli EQUIDISTANTI dagli ESTREMI sono UGUALI tra loro:

 

1a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1b6.

 

Questo, può risultare utile nella pratica, in quanto è sufficiente calcolare la metà dei coefficienti del nostro polinomio sapendo che gli altri sono uguali.

 

Vedremo, nella lezione successiva, che esiste un metodo più semplice per calcolare i COEFFICIENTI dei termini del nostro polinomio. Esso prende il nome di TRIANGOLO di TARTAGLIA.

 

 

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