POTENZA DI UN BINOMIO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Parlando del cubo di un binomio abbiamo visto che esso può essere trovato moltiplicando il quadrato del binomio per il binomio stesso. Ovvero:

Cubo di un binomio



Allo stesso modo potremmo scrivere:

Binomio elevato alla quarta



E ancora:

Binomio elevato alla quinta



E potremmo andare avanti così.



Quindi, se noi dovessimo trovare (a+b)8 dovremmo:

  • calcolare il quadrato di a+b;
  • moltiplicare il quadrato ottenuto per a+b in modo da avere il suo cubo;
  • moltiplicare il cubo di a+b per se stesso in modo da avere il suo valore elevato alla quarta;
  • moltiplicare il valore di (a+b)4 per se stesso in modo da avere (a+b)5;
  • moltiplicare il valore di (a+b)5 per se stesso in modo da avere (a+b)6;
  • moltiplicare il valore di (a+b)6 per se stesso in modo da avere (a+b)7;
  • moltiplicare il valore di (a+b)7 per se stesso in modo da avere (a+b)8.

E' evidente che si tratta di un procedimento molto lungo e laborioso. Tuttavia esiste una regola che ci permette di calcolare la POTENZA di un BINOMIO

(a +b)n

qualunque sia il valore di n.



Lo sviluppo di

(a +b)n

con n intero e positivo

è un:

  • POLINOMIO OMOGENEO cioè un polinomio che ha tutti i TERMINI dello stesso grado;
  • il cui GRADO è n;
  • ORDINATO secondo le potenze DECRESCENTI di a e CRESCENTI di b.

I COEFFICIENTI dei termini di tale polinomio sono:

  • il COEFFICIENTE del PRIMO TERMINE è 1;
  • il COEFFICIENTE del SECONDO TERMINE è n;
  • i COEFFICIENTI degli ALTRI TERMINI si ottengono MOLTIPLICANDO il COEFFICIENTE del TERMINE PRECEDENTE per l'ESPONENTE che ha a in questo termine AUMENTATO di 1 e DIVIDENDO il prodotto ottenuto per l'ESPONENTE che ha b, nello stesso termine.

Vediamo di capire quanto detto attraverso un esempio. Vogliamo calcolare

(a + b)6.



LA LEZIONE PROSEGUE SOTTO LA PUBBLICITA'

Innanzitutto la nostra potenza sarà un polinomio omogeneo, cioè un polinomio i cui termini saranno tutti dello stesso grado e pari ad n, cioè nel nostro caso pari a 6.

Inoltre il polinomio dovrà essere ordinato secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b.



Quindi, la parte letterale dei termini del polinomio che stiamo cercando sarà:

(a + b)6 = a6b0 + a5b1 + a4b2 + a3b3 + a2b4 + a1b5 + a0b6 =

= a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6.



Ora dobbiamo trovare i coefficienti dei vari termini.

Il primo coefficiente cercato è 1. Quindi:

= 1a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6 =

= a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6.



Il secondo coefficiente cercato è uguale all'esponente n, cioè è uguale a 6. Quindi

= a6 + 6a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6.



Gli altri coefficienti saranno uguali al prodotto tra il coefficiente del termine precedente per l'esponente che ha a in questo termine aumentato di 1, diviso per l'esponente che ha b nel termine.

Vediamo allora il coefficiente del terzo termine.

coefficiente dei termini successivi ai primi due



[6 x (4+1)] / 2 = 30/2 = 15



= a6 + 6a5b + 15a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6.



Il coefficiente del quarto termine sarà:

[15 x (3+1)] / 3 = 60/3 = 20



= a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + a2b4 + ab5 + b6.



Il coefficiente del quinto termine sarà:

[20 x (2+1)] /4 = 60/4 = 15



= a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + ab5 + b6.



Il coefficiente del sesto termine sarà:

[15 x (1+1)] /5 = 30/4 = 6



= a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6.



L'ultimo coefficiente sarà:

[6 x (0+1 )] /6 = 6/6 = 1



= a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6.



Possiamo osservare che i COEFFICIENTI ESTREMI e quelli EQUIDISTANTI dagli ESTREMI sono UGUALI tra loro:

1a6 +6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1b6.



Questo, può risultare utile nella pratica, in quanto è sufficiente calcolare la metà dei coefficienti del nostro polinomio sapendo che gli altri sono uguali.



Vedremo, nella lezione successiva, che esiste un metodo più semplice per calcolare i COEFFICIENTI dei termini del nostro polinomio. Esso prende il nome di TRIANGOLO di TARTAGLIA.

 
 
 
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