Grado del prodotto tra polinomi

GRADO del PRODOTTO tra POLINOMI

Immaginiamo di voler eseguire il seguente PRODOTTO tra POLINOMI:

(x³ + x²y²) (2x - 4).

Sappiamo che il il PRODOTTO di due POLINOMI è un POLINOMIO i cui TERMINI si ottengono MOLTIPLICANDO ogni TERMINE del primo POLINOMIO per ogni termine del secondo POLINOMIO.

Quindi avremo:

(x³ + x²y²) (2x - 4) = 2x⁴ - 4x³+2x³y²- 4x²y².

Ora osserviamo il GRADO del primo POLINOMIO:

x³ + x²y².

Sappiamo che il GRADO COMPLESSIVO DI UN POLINOMIO è il MASSIMO GRADO dei TERMINI che lo compongono.

Quindi nel nostro caso il polinomio ha grado complessivo 4.

Vediamo ora il GRADO del secondo POLINOMIO:

2x - 4.

Esso è 1.

Ora osserviamo il prodotto ottenuto. Ovvero il polinomio

2x⁴ - 4x³+2x³y²- 4x²y².

Possiamo notare che esso ha grado complessivo 5.

Quindi possiamo affermare che il GRADO del POLINOMIO ottenuto come PRODOTTO tra due POLINOMI è uguale al SOMMA dei gradi dei POLINOMI FATTORI.

Infatti:

GRADO DEL primo POLINOMIO 4 + GRADO DEL secondo POLINOMIO 1 =

GRADO DEL PRODOTTO 5

Ciò è la conseguenza delle regole proprie della moltiplicazione dei monomi e di quelle relative al grado di un polinomio e di un monomio.

Quando moltiplichiamo un termine di un polinomio per un termine dell'altro polinomio, stiamo eseguendo il prodotto tra due monomi. E sappiamo che il prodotto di due monomi è un monomio che ha per PARTE LETTERALE il prodotto dei fattori letterali: ogni fattore letterale è presente nel prodotto con un ESPONENTE pari alla SOMMA DEGLI ESPONENTI con i quali figura nei singoli monomi.

Sappiamo, inoltre, che il GRADO DI UN POLINOMIO è il MASSIMO GRADO dei TERMINI che lo compongono.

Quando moltiplichiamo il TERMINE di GRADO MASSIMO del primo POLINOMIO per il TERMINE di GRADO MASSIMO del secondo POLINOMIO la PARTE LETTERALE del prodotto sarà data da ogni fattore letterale con un ESPONENTE pari alla SOMMA DEGLI ESPONENTI con i quali figura nei termini dei due polinomi.

Di conseguenza il TERMINE di GRADO MASSIMO del PRODOTTO avrà come esponente della parte letterale la SOMMA dei gradi dei due POLINOMI.

Vediamo qualche altro esempio:

Prodotto

Risultato

Grado

(x + 1 ) (x + 2)

x²+2x +x +2 =

= x²+3x +2

^{Grado
del I polinomio: 1}

^{Grado del II polinomio:
1}

^{Grado del prodotto: 2}

(2a²+ b) (a+ b)