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SOMMA degli ANGOLI INTERNI di un POLIGONO

 

Per approfondire  

 

Disegniamo un poligono:

Angoli interni ed esterni di un poligono

 

 

Ora disegniamo gli ANGOLI INTERNI e gli ANGOLI ESTERNI del poligono:

 

Angoli interni ed esterni di un poligono

 

Abbiamo indicato gli angoli interni del poligono con le lettere dell'alfabeto greco:

α β γ δ ε

che si leggono

α Alfa

β Beta

γ Gramma

δ Delta

ε Epsilon.

 

Mentre gli angoli esterni li abbiamo indicati con:

α' β' γ' δ' ε'

che si leggono

α' Alfa primo

β' Beta primo

γ' Gramma primo

δ' Delta primo

ε' Epsilon primo.

 

 

Noi sappiamo che OGNI ANGOLO ESTERNO è ADIACENTE,  e quindi SUPPLEMENTARE, dell'ANGOLO INTERNO avente lo STESSO VERTICE.

E sappiamo anche che due angoli supplementari misura 180°.

Quindi possiamo dire che:

Angoli interni ed esterni di un poligono

 

Quindi la SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI del nostro poligono e la SOMMA DEGLI ANGOLI ESTERNI è pari complessivamente a:

 SC = 5 x 180°

dove

SC = somma complessiva delle ampiezze degli angoli interni ed esterni del poligono.

 

Sappiamo anche che in un POLIGONO qualsiasi, la SOMMA degli ANGOLI ESTERNI è pari a 360°.

Quindi possiamo scrivere:

 SE = 360°

dove

SE = somma delle ampiezze degli angoli esterni del poligono.

 

Ora la SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI (SI) è uguale alla SOMMA COMPLESSIVA DELLE AMPIEZZE DI ANGOLI INTERNI ED ESTERNI (SC) meno la SOMMA DEGLI ANGOLI ESTERNI (SE). Ovvero:

 SI = SC - SE

 

Ora noi sappiamo che 

 SC = 5 x 180°

e che

 SE = 360°.

Quindi possiamo scrivere:

 SI = 5 x 180° - 360°.

Poichè:

360° = 2 x 180°.

 

Sostituendo il prodotto nella precedente uguaglianza avremo:

 SI = 5 x 180° - 2 x 180°.

 

Ma per la PROPRIETA' DISTRIBUTIVA DELLA MOLTIPLICAZIONE ciò equivale a scrivere:

 SI = (5 - 2) x 180°.

Quindi:

 SI = 3 x 180° = 540°.

 

L'esempio da noi fatto riguarda un poligono di 5 lati e 5 angoli.

 

Vediamo cosa accade con vari tipi di poligoni:

  SC SE SI

TRIANGOLO:

3 lati e 3 angoli

3 x 180°

360° = 2 x 180°

3 x 180° - 2 x 180° =

(3 -2) x 180°

 

QUADRILATERO:

4 lati e 4 angoli

 

4 x 180°

 

360° = 2 x 180°

4 x 180° - 2 x 180° =

(4 -2) x 180°

 

PENTAGONO:

5 lati e 5 angoli

 

5 x 180° 360° = 2 x 180° 5 x 180° - 2 x 180° = (5 - 2 ) x 180°

ESAGONO:

6 lati e 6 angoli

 

6 x 180°

 

360° = 2 x 180°

6 x 180° - 2 x 180° =

(6 -2) x 180°

 

Generalizzando, se indichiamo con n il numero di lati di un poligono (e dunque anche il numero di angoli) la SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI è pari a:

 SI = (n-2) x 180°.

 

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