TEOREMA DI CRAMER
- Matrice
- Rango o caratteristica di una matrice
- Sistemi di equazioni lineari algebriche
- Sistemi di equazioni e matrici
- Risoluzione di sistemi di equazioni lineari
- Teorema di Rouché Capelli
- Equazioni ridotte a forma normale
Il TEOREMA di CRAMER permette di risolvere un sistema di equazioni lineari supposto possibile.
Esso afferma che un sistema di equazioni lineari algebriche in n incognite, nel quale la MATRICE DEI COEFFICIENTI è NON SINGOLARE, ammette una e una sola soluzione. Il VALORE di ciascuna INCOGNITA è uguale ad una FRAZIONE che ha :
- per DENOMINATORE il DETERMINANTE della MATRICE dei COEFFICIENTI;
- per NUMERATORE il DETERMINANTE che si ottiene dal denominatore SOSTITUENDO AI COEFFICIENTI DELL'INCOGNITA che si vuole calcolare i CORRISPONDENTI TERMINI NOTI.
Possiamo scrivere il TEOREMA di CRAMER nel modo che segue:
xi = det Ai / det A
dove
A è la matrice dei coefficienti
Ai è la matrice ottenuta da A sostituendo la sua i.esima colonna con la colonna dei termini noti
xi sono le incognite con i che va da 1 ad n.
Torniamo al sistema di equazioni visto nella lezione precedente:
Riduciamo le due EQUAZIONI a FORMA NORMALE e mettiamo le incognite nello stesso ordine in modo da incolonnarle. Avremo:
Ora scriviamo la MATRICE DEI COEFFICIENTI:
Il determinante della matrice data è
(1 · 1) - (-1 · 2) = 1 - (-2) = 3
quindi 3 è il denominatore della nostra frazione.
Ora nella prima colonna della matrice dei coefficienti, cioè nella colonna dei coefficienti delle x, sostituiamo la colonna dei termini noti. Avremo:
Il determinante della matrice data è
(2 · 1) - (-1 · 5) = 2 - (5) = 2 + 5 = 7
quindi 7 è il numeratore della frazione che dobbiamo scrivere per trovare la x.
Quindi avremo:
x = 7/3.
Ora nella seconda colonna della matrice dei coefficienti, cioè nella colonna dei coefficienti delle y, sostituiamo la colonna dei termini noti. Avremo:
Il determinante della matrice data è
(1 · 5) - (2 · 2) = 5 - 4 = 1
quindi 1 è il numeratore della frazione che dobbiamo scrivere per trovare la y.
Quindi avremo:
y = 1/3.
Le soluzioni del nostro sistema sono:
x = 7/3 y = 1/3.
