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RANGO o CARATTERISTICA di una matrice

 

Per comprendere  

 

Nelle lezioni precedenti abbiamo appreso come si può calcolare il determinante di una matrice quadrata: è importante sottolineare che è necessario che la matrice sia QUADRATA.

Inoltre, abbiamo visto come, data una matrice A di ordine m x n da essa si possono estrarre delle SOTTOMATRICI eliminando da A alcune righe e/o colonne. Inoltre abbiamo detto che, quando la sottomatrice di A è una MATRICE QUADRATA essa prende il nome di MINORE.

 

Da una qualsiasi matrice possiamo estrarre sempre delle sottomatrici quadrate, cioè dei MINORI.

 

Esempio.

Consideriamo la seguente matrice A di ordine  3 x 2:

Sottomatrici di A

 

I MINORI che possiamo estrarre da essa sono, innanzitutto, tutto le matrici formate da un solo elemento della matrice stessa. Quindi:

Minori di A

 

Poi possiamo estrarre 3 minori di ordine 2, togliendo la prima o la seconda o la terza riga. Ovvero:

Minori di A     Minori di A

Minori di A     Minori di A

Minori di A     Minori di A

 

Quindi dalla nostra matrice 3 x 2 abbiamo estratto 9 MINORI.

Di questi minori, essendo essi per definizione delle matrici quadrate, possiamo calcolare il DETERMINANTE.

Ricordiamo che:

 

Quindi avremo:

det |3| = 3

det |2| = 2

det |1| = 1

det |5| = 5

det |0| = 0

det |4| = 4

Determinante di una matrice di ordine 2

Determinante di una matrice di ordine 2

Determinante di una matrice di ordine 2

 

Osserviamo che, di tutti i determinanti trovati, uno è uguale a zero mentre gli altri sono tutti diversi da zero.

Il determinante uguale a zero è associato ad un minore di ordine 1.

Tutti gli altri minori, sia di ordine 1 che di ordine 2, hanno un determinante diverso da zero.

 

Chiamiamo RANGO o CARATTERISTICA di una matrice A di ordine n x m il MASSIMO ORDINE dei MINORI aventi DETERMINANTE DIVERSO da ZERO.

Indichiamo il RANGO della matrice A con il simbolo

r(A)

che si legge

rango di A.

 

Tornando al nostro esempio, la nostra matrice ha rango 2, infatti noi dalla matrice A possiamo estrarre minori di ordine 1 e di ordine 2. Abbiamo, inoltre, sia minori di ordine 1 che minori di ordine 2 con determinante diverso da zero.

Quindi i minori con determinante diverso da zero che hanno ordine massimo, sono quelli di ordine 2.

Diremo allora che

r(A) = 2

che si legge

rango di A uguale a 2.

 

Da quanto abbiamo detto è evidente che:

  • Se la matrice A è di ordine m x n. Il RANGO sarà sempre un valore COMPRESO tra 0 (ed eventualmente anche uguale a zero) e il MINORE tra m e n.

In simboli scriveremo

Determinante di una matrice di ordine 2

che si legge

il rango della matrice A è compreso uguale tra 0 e il minimo tra m ed n.

 

Infatti, tornando al nostro esempio, la matrice A è di ordine 3 x 2.

La nostra matrice non potrà mai avere rango superiore al minore tra 3 e 2, dato che da essa possiamo estrarre dei minori che hanno, al massimo, ordine 2.

Quindi il rango della matrice poteva, a seconda del valore assunto dai determinanti dei suoi minori, avere un valore compreso tra 0 e 2, o tutt'al più uguale a zero.

 

  • Se la matrice A ha rango r significa che ESISTE ALMENO UN MINORE di ORDINE r con DETERMINANTE DIVERSO da ZERO;

 

  • Se la matrice A ha rango r significa che tutti i MINORI (se esistono) di ORDINE r+1 (ed eventualmente superiori) hanno DETERMINANTE NULLO

Ad esempio, se la matrice A di ordine 5 x 4 ha rango 3 significa che tutti i minori di ordine 4 hanno determinante nullo.

 

 

Una matrice QUADRATA A di ordine n si dice:

  • NON SINGOLARE se il suo RANGO è MASSIMO, cioè se

r = n

  • SINGOLARE negli altri casi, cioè se

r < n.

 

In una delle prossime lezioni, dopo aver appreso il concetto di equivalenza tra matrici, vedremo che esiste un metodo per il calcolo del rango della matrice che non richiede l'estrazione di tutti i minori e il calcolo dei loro determinanti.

 

 

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