MASSIMO E MINIMO DI UN INSIEME ORDINATO
- Relazione d'ordine
- Relazione d'ordine largo e relazione d'ordine stretto
- Relazione inversa di una relazione d'ordine
- Relazione d'ordine totale e relazione d'ordine parziale
- Proprietà antisimmetrica di una relazione su un insieme
Un insieme A
in cui è definita una RELAZIONE
D'ORDINE 
è
detto INSIEME ORDINATO.
Esso, come abbiamo avuto modo di vedere nella lezione precedente, può essere TOTALMENTE o PARZIALMENTE ORDINATO.
Sia A un insieme ORDINATO.
Si chiama MINIMO dell'insieme A, se esiste, il PIU' PICCOLO ELEMENTO di A.
In simboli scriviamo:
che si legge
a appartenente ad A e tale che, per qualunque x appartenente ad A a è minore o uguale ad x.
Il MINIMO dell'insieme A si dice anche PRIMO ELEMENTO di A.
Esempio:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10}
minimo 1.
Se esiste un minimo di un insieme ordinato esso è UNICO.
Infatti, se per assurdo, esistessero due minimi a e a1, avremmo che:
Ma per la PROPRIETA' ANTISIMMETRICA di cui gode una RELAZIONE D'ORDINE avremmo che
a = a1.
Si chiama MASSIMO dell'insieme A, se esiste, il PIU' GRANDE ELEMENTO di A.
In simboli scriviamo:
che si legge
b appartenente ad A e tale che, per qualunque x appartenente ad A b è maggiore o uguale ad x.
Il MASSIMO dell'insieme A si dice anche ULTIMO ELEMENTO di A.
Esempio:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10}
massimo 10.
Se esiste un massimo di un insieme ordinato esso è UNICO.
Infatti, se per assurdo, esistessero due massimi b e b1, avremmo che:
Ma per la PROPRIETA' ANTISIMMETRICA di cui gode una RELAZIONE D'ORDINE avremmo che
b = b1.
Attenzione!!! Dalla definizione di MINIMO e di MASSIMO si comprende che vi possono essere degli insiemi ordinati per i quali il minimo e/o il massimo non esiste (si dice infatti SE ESISTE).
Esempio:
N = {numeri naturali}
minimo 0
massimo non c'è.
