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MASSIMO e MINIMO di un INSIEME ORDINATO

 

Per comprendere  

 

Un insieme A in cui è definita una RELAZIONE D'ORDINE relazione d'ordineè detto INSIEME ORDINATO.

Esso, come abbiamo avuto modo di vedere nella lezione precedente, può essere TOTALMENTE o PARZIALMENTE ORDINATO.

 

Sia A un insieme ORDINATO.

Si chiama MINIMO dell'insieme A, se esiste, il PIU' PICCOLO ELEMENTO di A.

In simboli scriviamo:

minimo di un insieme ordinato

che si legge

a appartenente ad A e tale che, per qualunque x appartenente ad A a è minore o uguale ad x.

 

Il MINIMO dell'insieme A si dice anche PRIMO ELEMENTO di A.

 

Esempio:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10}

minimo 1.

 

Se esiste un minimo di un insieme ordinato esso è UNICO.

Infatti, se per assurdo, esistessero due minimi a e a1, avremmo che:

minimo di un insieme ordinato

Ma per la PROPRIETA' ANTISIMMETRICA di cui gode una RELAZIONE D'ORDINE avremmo che

a = a1

 

 

 

Si chiama MASSIMO dell'insieme A, se esiste, il PIU' GRANDE ELEMENTO di A.

In simboli scriviamo:

massimo di un insieme ordinato

che si legge

b appartenente ad A e tale che, per qualunque x appartenente ad A b è maggiore o uguale ad x.

 

Il MASSIMO dell'insieme A si dice anche ULTIMO ELEMENTO di A.

 

Esempio:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10}

massimo 10.

 

Se esiste un massimo di un insieme ordinato esso è UNICO.

Infatti, se per assurdo, esistessero due massimi b e b1, avremmo che:

massimo di un insieme ordinato

Ma per la PROPRIETA' ANTISIMMETRICA di cui gode una RELAZIONE D'ORDINE avremmo che

b = b1

 

Attenzione!!! Dalla definizione di MINIMO e di MASSIMO si comprende che vi possono essere degli insiemi ordinati per i quali il minimo e/o il massimo non esiste (si dice infatti SE ESISTE).

 

Esempio:

N = {numeri naturali}

minimo 0

massimo non c'è.

 

 

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