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RISOLUZIONE delle EQUAZIONI ESPONENZIALI con potenze aventi lo stesso esponente

 

 



Per comprendere  

 

Continuiamo a vedere come si  risolvono le equazioni esponenziali e, in questa lezione, ci occuperemo di quelle equazioni nelle quali compaiono a PRIMO e a SECONDO MEMBRO  due POTENZE aventi lo STESSO ESPONENTE.

Le equazioni di cui parliamo si presentano nella forma:

a f(x) = b f(x).

 

Queste equazioni si risolvono PONENDO l'ESPONENTE UGUALE a ZERO. In altre parole

f(x) = 0.

 

Cerchiamo di capirne il perché. 

Se dividiamo primo e secondo membro della nostra equazione per b f(x) avremo:

Soluzione equazioni esponenziali

Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere:

Soluzione equazioni esponenziali

Ma una potenza con base diversa da 1, è uguale ad 1, solamente se l'esponente è uguale a zero. Per questa ragione dobbiamo porre

f(x) = 0.

 

 

Esempio 1:

64 · 2x-7 - 9 · 3x-3 = 0.

 

Iniziamo a trasformare la nostra equazione:

26 · 2x-7 - 32 · 3x-3  = 0.

 

Applichiamo le proprietà delle potenze e scriviamo:

26+x-7 - 32+x-3  = 0

2x-1 - 3x-1  = 0.

 

A questo punto portiamo a secondo membro -3x-1cambiando di segno

2x-1 = 3x-1 

e abbiamo, a primo e secondo membro due potenze con basi diverse e lo stesso esponente. Quindi, per risolvere, dobbiamo porre

x - 1 = 0

la cui soluzione è

x = 1.

 

 

Esempio 2:

70 · 3x-3 = 35 · 2x-2.

 

Dividiamo, primo e secondo membro, per 35:

(70 · 3x-3)/ 35 = (35 · 2x-2)/ 35.

2 · 3x-3 = 2x-2.

 

Ora dividiamo primo e secondo membro per 2 ed otteniamo:

(2 · 3x-3)/ 2 = (2x-2) /2

3x-3 = (2x-2) /2.

 

A secondo membro applichiamo le proprietà delle potenze e scriviamo:

3x-3 = 2x-2-1

3x-3 = 2x-3.

 

Abbiamo così ottenuto un'equazione esponenziale nella quale, ai due membri, abbiamo potenze con basi diverse, ma lo stesso esponente. Per risolvere è sufficiente porre l'esponente pari a zero, ovvero

x - 3 = 0

x = 3.

 

 

Nelle prossime lezioni vedremo come risolvere altri tipi di equazioni esponenziali.

 

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