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FUNZIONE ESPONENZIALE

 

 



Per comprendere  

 

Dopo aver parlato dalle POTENZE di un NUMERO REALE POSITIVO ad ESPONENTE REALE possiamo introdurre le FUNZIONI ESPONENZIALI.

Esaminiamo la funzione

y = ax

con 

a appartenente ai reali positivi meno l'insieme formato dal numeor uno

che si legge

a appartenente ai reali positivi meno l'insieme formato dall'elemento uno.

 

Questo tipo di funzione prende il nome di FUNZIONE ESPONENZIALE di BASE a.

 

Del perché sono esclusi i reali negativi dovrebbe essere chiaro dopo aver letto la lezione precedente.

Vediamo, ora, perché escludiamo anche il numero uno.

Nella lezione precedente si è detto che uno, elevato a qualsiasi numero reale, è sempre uguale ad uno.

Quindi se 

a = 1

y = ax = 1x = 1

cioè

y = 1.

In altre parole per

a = 1

la funzione è una COSTANTE per qualunque x appartenente ai reali.

 

Quindi possiamo dire che una funzione esponenziale è una funzione del tipo

y = ax

con a numero reale positivo diverso da 1.

 

 

Passiamo, quindi, ad esaminare i due casi in cui

a > 1 

a < 1.

 

Partiamo dal primo caso

a > 1.

 

Per esaminare questo caso ricorriamo ad un esempio. Ipotizziamo che

a = 2.

La nostra funzione diventerà

y = 2x.

Vediamo quali valori assume la funzione, al variare di x nel campo dei numeri reali.

Attribuiamo ad x alcuni valori casuali, ad esempio:

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

e osserviamo che i corrispondenti valori di y saranno

2-3, 2-2, 2-1, 20, 21, 22, 23

ovvero

1/(2)3, 1/(2)2, 1/(2)1, 1, 2, 4, 8

cioè

1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8.

 

Usando le coppie di valori appena trovati

x

y

-3

1/8
-2 1/4
-1 1/2
0 1
1 2
2 4
3 8

tracciamo il grafico della funzione 

y = 2x.

Esso è

Funzione esponenziale

 

Osserviamo che:

  • tutto il grafico della funzione si trova nel semipiano delle y positive;

  • la curva interseca l'asse delle ordinate nel punto di coordinate (0; 1);

  • al crescere dell'esponente (quindi della x) cresce anche il valore della y. Pertanto possiamo dire che la FUNZIONE è CRESCENTE;

  • mano a mano che la x assume valori negativi via via più piccoli, l'ordinata si avvicina sempre più all'asse delle ascisse, mentre quando la x assume valori positivi via via crescenti, l'ordinata si allontana rapidamente dall'asse delle ascisse. Questo andamento del grafico viene espresso dicendo che al tendere di x all'infinito (che si esprime con il simbolo di ), ax tende all'infinito.

 

 

Esaminiamo ora il caso in cui

0 < a < 1.

Ricordiamo che a deve essere necessariamente un numero reale positivo, quindi non può assumere valori minori di zero.

 

Ipotizziamo che

a = 1/2.

La nostra funzione diventerà

y = (1/2)x

che si può scrivere come

y = 2-x.

 

Vediamo quali valori assume la funzione, al variare di x nel campo dei numeri reali.

Attribuiamo ad x alcuni valori casuali, ad esempio:

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

e osserviamo che i corrispondenti valori di y saranno

23, 22, 21, 20, 2-1, 2-2, 2-3

ovvero

23, 22, 21, 1, 1/2, 1/4, 1/8

cioè

8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8.

 

Usando le coppie di valori appena trovati

x

y

-3

8
-2 4
-1 2
0 1
1 1/2
2 1/4
3 1/8

tracciamo il grafico della funzione 

y = 2-x.

Esso è

Funzione esponenziale

 

In particolare osserviamo che

  • tutto il grafico della funzione si trova nel semipiano delle y positive;

  • la curva interseca l'asse delle ordinate nel punto di coordinate (0; 1);

  • al crescere dell'esponente (quindi della x) diminuisce il valore della y. Pertanto possiamo dire che la FUNZIONE è DECRESCENTE;

  • mano a mano che la x assume valori positivi via via più grandi, l'ordinata si avvicina sempre più all'asse delle ascisse, mentre quando la x assume valori negativi via via più piccoli, l'ordinata si allontana rapidamente dall'asse delle ascisse. Questo andamento del grafico viene espresso dicendo che al tendere di x a meno infinito (che si esprime con il simbolo di -), ax tende a zero.

 

Osserviamo, inoltre, che la curva che abbiamo disegnata, è simmetrica rispetto all'asse delle y alla precedente perché 

2-x

si ottiene da

2x

cambiando 

x in -x.

In altre parole, la seconda curva la otteniamo dal ribaltamento della prima, rispetto all'asse delle ordinate, come si può vedere chiaramente dalla figura sottostante nella quale i due grafici sono stati affiancati:

 

Funzione esponenziale

 

 

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