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RISOLUZIONE delle EQUAZIONI ESPONENZIALI con potenze aventi basi ed esponenti diversi

 

 



Per comprendere  

 

Proseguiamo nell'esame dei metodi di risoluzione delle equazioni esponenziali e andiamo a vedere cosa accade quando abbiamo un'equazione nella quale compaiono, a PRIMO e a SECONDO MEMBRO,  due POTENZE aventi BASI DIVERSE ed ESPONENTI DIVERSI.

Le equazioni di cui parliamo si presentano nella forma:

a f(x) = b g(x).

 

In questo caso, se ci sono delle SOLUZIONI, esse sono IRRAZIONALI e si ottengono ricorrendo ai LOGARITMI ponendo

logc a f(x) = logc b g(x).

 

 

Applicando i TEOREMI sulle POTENZE dei LOGARITMI possiamo scrivere:

f (x) · logc a = g(x) · logc b.

 

La scelta della base del logaritmo c è soggettiva. In genere può essere conveniente porre:

  • c = a. In questo caso, avremo:

f (x) · loga a = g(x) · loga b.

Come abbiamo visto in una precedente lezione

loga a = 1

di conseguenza l'equazione diventa

f (x) = g(x) · loga b;

 

  • c = b. In questo caso, avremo:

f (x) · logb a = g(x) · logb b.

e poiché

logb b = 1

l'equazione diventa

f (x) · logb a = g(x);

 

  • c = e. In questo caso, avremo:

f (x) · log a = g(x) · log b.

 

 

Esempio:

Equazioni esponenziali

 

Non potendo risolvere l'equazione in nessuno dei modi visti nelle precedenti lezioni procediamo, innanzitutto, trasformando la radice quadrata in un esponente frazionario:

Equazioni esponenziali

 

A questo punto utilizziamo i logaritmi e scegliamo come base del logaritmo il numero di Nepero:

Equazioni esponenziali

 

da cui, applicando il TEOREMA delle POTENZE di LOGARITMI otteniamo:

Equazioni esponenziali

 

Eseguiamo i prodotti:

Equazioni esponenziali

 

Moltiplichiamo, primo e secondo membro, per 2:

Equazioni esponenziali

 

Portiamo a primo membro i termini contenenti la x e a secondo membro i termini noti, cambiando di segno:

Equazioni esponenziali

 

A primo membro mettiamo in evidenza la x:

Equazioni esponenziali

 

e risolviamo:

Equazioni esponenziali

 

 

Nella prossima lezione vedremo come risolvere un ultimo tipo di equazione esponenziale.

 

 

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