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ASSI di SIMMETRIA e ASSE MAGGIORE dell'ELLISSE

 

 

Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo visto che 

Equazione dell'ellisse

 

è l'EQUAZIONE DELL'ELLISE con CENTRO nell'ORIGINE degli assi e FUOCHI sull'ASSE delle x.

 

Graficamente questa ellisse appare così:

Ellisse con centro nell'origine degli assi e fuochi sull'asse delle x

 

Abbiamo detto che le coordinate dei fuochi sono rispettivamente 

F1 (-c; 0)

F2 (c; 0).

 

E che, dato un generico punto P sull'ellisse di coordinate 

P (x; y)

si a che:

PF1 + PF2 = 2a.

 

Ora vogliamo esaminare un po' meglio la nostra ellisse.

L'ELLISSE da noi disegnata è SIMMETRICA rispetto agli ASSI CARTESIANI e rispetto all'ORIGINE:

Assi di simmetria dell'ellisse

 

Come si può osservare, dato un punto P1 di coordinate 

P1 (x1; y1)

 

il punto simmetrico rispetto all'asse delle ordinate è:

P2 (-x1; y1)

 

mentre il punto simmetrico rispetto all'asse delle ascisse è:

P4 (x1; -y1).

 

Il punto P3 di coordinate 

P3 (-x1; -y1)

è:

  • simmetrico al punto P2 rispetto all'asse delle ascisse;

  • simmetrico al punto P4 rispetto all'asse delle ordinate.

 

Abbiamo già detto che l'ASSE MAGGIORE è UGUALE alla costante 2a. Ora dimostriamolo. 

Prendiamo il punto P dell'ellisse che coincide con uno dei VERTICI:

Misura dell'asse maggiore

 

L'ASSE MAGGIORE è dato dal segmento V1P

Misura dell'asse maggiore

 

che possiamo scrivere anche come 

V1F1 + PF1

Misura dell'asse maggiore

 

 

Dalla definizione dell'ELLISSE sappiamo che

PF1 + PF2 = 2a.

 

Essendo l'ellisse SIMMETRICA rispetto agli assi cartesiani avremo che

PF2 = V1F1.

 

Quindi possiamo scrivere che 

PF1 + V1F1 = 2a.

Ma 

PF1 + V1F1

è l'asse maggiore dell'ellisse.

Quindi possiamo dire che l'ASSE MAGGIORE dell'ellisse con CENTRO nell'ORIGINE degli assi e FUOCHI sull'ASSE delle x è uguale a 2a.

 

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