FORMULA DI DUPLICAZIONE DEL SENO
In una precedente lezione, introducendo le FORMULE GONIOMETRICHE, abbiamo detto che
sen (2α) ≠2 sen α
che si legge:
il seno dell'angolo due volte alfa è diverso dal doppio del seno dell'angolo alfa.
Così come
sen (3α) ≠3 sen α
e così via.
Inoltre, abbiamo detto che questo si verifica, non solo con il seno di un angolo, ma con tutte le funzioni goniometriche.
Si chiamano FORMULE DI DUPLICAZIONE quelle formule che ci consentono di esprimere la funzione goniometrica (seno, coseno, tangente, cotangente) di 2α sotto forma di relazioni tra funzioni goniometriche dell'angolo α.
In questa lezione ci occuperemo della FORMULA DI DUPLICAZIONE del SENO, cioè di quella formula che ci permette di esprimere il seno di 2α ricorrendo alle funzioni gonimetriche dell'angolo α.
Nelle prossime lezioni ci occuperemo delle formule di duplicazione delle restanti funzioni goniometriche.
Iniziamo da una premessa: da ora in poi, per CONVENZIONE quando porremo il SIMBOLO di una FUNZIONE GONIOMETRIA (sen, cos, tan, cotg) davanti al PRODOTTO di più FATTORI, quella funzione si riferisce a TUTTO IL PRODOTTO. Ad esempio:
sen 2α = sen (2α)
cos αβ = cos (αβ)
tan α √α = tan (α √α)
Ora, fatta questa premessa, supponiamo di voler trovare
sen 2α
Per prima cosa notiamo che:
2α = α + α
Quindi possiamo scrivere:
sen 2α = sen (α + α)
In questo modo abbiamo scritto il nostro seno sotto forma del seno della somma di due angoli.
Dati due angoli α e β sappiamo che il seno della loro somma è dato dalla formula:
sen (α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β
Sostituendo questa formula nella prima, avremo:
sen (α + α) = sen α · cos α + cos α · sen α
Sommando i termini simili, ovvero sen α · cos α, avremo:
sen (α + α) = 2 · (sen α · cos α)
Quindi possiamo dire che:
sen 2α = 2 sen α · cos α
