CASI NEI QUALI SONO UTILIZZABILI LE FORMULE DI WARING
- Sistemi di equazioni di grado superiore al primo
- Sistemi simmetrici
- Sistema simmetrico fondamentale
- Le formule di Waring
Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come le FORMULE DI WARING ci permettono di risolvere sistemi del tipo
Ora vedremo come le stesse formule possono essere utili anche per la soluzione di sistemi di altro tipo. In particolare, in questa lezione, ci soffermeremo sulla soluzioni di sistemi del tipo:
Applicando le formule di Waring, la prima equazione può essere scritta come segue:
(x + y)2 - 2xy.
Sostituiamo, nel sistema, questa equazione alla prima e avremo:
Dalla seconda equazione noi sappiamo che
xy = b.
Sostituiamo tale valore nella prima equazione e abbiamo:
Nella prima equazione portiamo -2b a secondo membro cambiandogli di segno:
Ora soffermiamoci per un attimo sulla prima equazione del sistema.
(x+y)2 = a + 2b.
Se
a + 2b < 0
questa equazione non ammette soluzioni dato che il quadrato di un numero, rappresentato nel nostro caso dal primo membro dell'equazione (x+y)2, non potrà mai essere negativo. Di conseguenza anche il SISTEMA NON AMMETTE SOLUZIONI.
Se
a + 2b = 0
oppure se
a + 2b > 0
le soluzioni del sistema si ottengono risolvendo:
Il che equivale a risolvere DUE SISTEMI distinti:
1° sistema:
2° sistema:
Vediamo un esempio
Sostituiamo nella prima equazione la formula di Waring:
Poiché sappiamo che
xy = -2
sostituiamo tale valore nella prima equazione ed otteniamo:
Ora risolviamo i seguenti due sistemi:
1° sistema:
2° sistema:
Risolviamo i due sistemi separatamente
1° sistema:
S = 1
P = -2
Equazione risolvente del sistema: t2 -t -2 = 0
2° sistema:
S = -1
P = -2
Equazione risolvente del sistema: t2 +t -2 = 0
Le soluzioni del nostro sistema sono:
(-1, 2); (2, -1); (-2, 1); (1, -2).
