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Come RICONOSCERE un QUADRATO

 

 



Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo visto che, se un numero naturale è il QUADRATO di un altro numero deve TERMINARE necessariamente con 

1, 4, 5, 6, 9 o con un NUMERO PARI di ZERI,

mentre NON E' VERO IL CONTRARIO

 

Ora cerchiamo di capire come è possibile riconoscere un quadrato perfetto.

 

Supponiamo di voler stabilire se il numero 9.801 sia o meno un QUADRATO PERFETTO.       

 

Iniziamo col dire che il nostro numero termina con 1, quindi potrebbe trattarsi un un quadrato.

 

SCOMPONIAMO, allora, il nostro numero in fattori primi:

Scomposizione in fattori primi

9.801 = 34 x 112

 

Come possiamo notare i fattori primi, nei quali può essere scomposto il numero 9.801, hanno degli esponenti tutti divisibili per 2.

Infatti:

9.801 = 34 x 112
Fattore primo 3 Esponente 4 - divisibile per 2
Fattore primo 11 Esponente 2 - divisibile per 2

 

Come sappiamo, una delle proprietà delle potenze, ci dice che la potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

Quindi, il numero 9.801, può essere scritto anche come:

9.801 = 34 x 112 = (32 x 11)2 = (9 x 11)2 = 992.

 

Quindi:

9.801 è il quadrato di 99.

 

 

Ricapitolando possiamo affermare che un numero intero è un QUADRATO PERFETTO se gli ESPONENTI dei suoi fattori primi sono TUTTI PARI.

 

Vediamo alcuni esempi.

Numero  
1.357 Termina con 7 - sicuramente non è un quadrato perfetto

 

2.350 Termina con 1 zero - sicuramente non è un quadrato perfetto

 

504 Termina con 4 - potrebbe essere un quadrato perfetto
504 = 23 x 32 x 7 - non è un quadrato perfetto perché gli esponenti dei fattori primi non sono tutti numeri pari

 

2.916 Termina con 6 - potrebbe essere un quadrato perfetto
2.916 = 22 x 36 = (2 x 33)2 = (2 x 27)2 = 542 

 

129.600 Termina con 2 zeri - potrebbe essere un quadrato perfetto
129.600 = 26 x 34 x 52 = (23 x 32 x 5)2 = (8 x 9 x 5)2 = 3602 

 

2.480.625 Termina con 5 - potrebbe essere un quadrato perfetto
2.480.625 = 34 x 54 x 72 = (32 x 52 x 7)2 = (9 x 25 x 7)2 = 1.5752 

 

 

 

Se disponiamo della tavola delle potenze può essere utile ricorrere ad esse.

Supponiamo di voler sapere se il numero 112.225 è un quadrato perfetto.

Lo andiamo a cercare nella colonna dove sono indicati i quadrati, contrassegnata con n2. Se c'è, significa che esso è un quadrato perfetto.

In questo caso, nella colonna contrassegnata con la n, possiamo leggere il numero che elevato al quadrato ci dà 112.225, ovvero 335.

 

Tavola delle potenze

Quindi:

112.225 = 3352.

  

 

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