COME RICONOSCERE UN QUADRATO
- Quadrati perfetti
- Elevamento a potenza
- Scomposizione di un numero in fattori primi
- Proprietà delle potenze
- L'insieme dei numeri naturali
Nella lezione precedente abbiamo visto che, se un numero naturale è il QUADRATO di un altro numero deve TERMINARE necessariamente con
1, 4, 5, 6, 9 o con un NUMERO PARI di ZERI,
mentre NON E' VERO IL CONTRARIO.
Ora cerchiamo di capire come è possibile riconoscere un quadrato perfetto.
Supponiamo di voler stabilire se il numero 9.801 sia o meno un QUADRATO PERFETTO.
Iniziamo col dire che il nostro numero termina con 1, quindi potrebbe trattarsi un un quadrato.
SCOMPONIAMO, allora, il nostro numero in fattori primi:
9.801
= 34 x 112
Come possiamo notare i fattori primi, nei quali può essere scomposto il numero 9.801, hanno degli esponenti tutti divisibili per 2.
Infatti:
9.801
= 34 x 112
Fattore
primo 3
Esponente
4 - divisibile per 2
Fattore
primo 11
Esponente
2 - divisibile per 2
Come sappiamo, una delle proprietà delle potenze, ci dice che la potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.
Quindi, il numero 9.801, può essere scritto anche come:
9.801 = 34 x 112 = (32 x 11)2 = (9 x 11)2 = 992.
Quindi:
9.801 è il quadrato di 99.
Ricapitolando possiamo affermare che un numero intero è un QUADRATO PERFETTO se gli ESPONENTI dei suoi fattori primi sono TUTTI PARI.
Vediamo alcuni esempi.
| NUMERO | QUADRATO |
|---|---|
| 1.357 | Termina con 7 - sicuramente non è un quadrato perfetto |
| 2.350 | Termina con 1 zero - sicuramente non è un quadrato perfetto |
| 504 | Termina
con 4 - potrebbe essere un quadrato perfetto 504 = 23 x 32 x 7 - non è un quadrato perfetto perché gli esponenti dei fattori primi non sono tutti numeri pari |
| 2.916 | Termina
con 6 - potrebbe essere un quadrato perfetto 2.916 = 22 x 36 = (2 x 33)2 = (2 x 27)2 = 542 |
| 129.600 | Termina
con 2 zeri - potrebbe essere un quadrato perfetto 129.600 = 26 x 34 x 52 = (23 x 32 x 5)2 = (8 x 9 x 5)2 = 3602 |
| 2.480.625 | Termina
con 5 - potrebbe essere un quadrato perfetto 2.480.625 = 34 x 54 x 72 = (32 x 52 x 7)2 = (9 x 25 x 7)2 = 1.5752 |
Se disponiamo della tavola delle potenze può essere utile ricorrere ad esse.
Supponiamo di voler sapere se il numero 112.225 è un quadrato perfetto.
Lo andiamo a cercare nella colonna dove sono indicati i quadrati, contrassegnata con n2. Se c'è, significa che esso è un quadrato perfetto.
In questo caso, nella colonna contrassegnata con la n, possiamo leggere il numero che elevato al quadrato ci dà 112.225, ovvero 335.
Quindi:
112.225 = 3352.
