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PRODOTTO tra MATRICI

 

Per comprendere  

 

Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come è possibile effettuare il prodotto tra due vettori. Ora vedremo, invece, come possiamo effettuare il PRODOTTO TRA DUE MATRICI.

Supponiamo di avere:

  • la MATRICE  A di ordine (m x n);

e

  • la MATRICE  B di ordine (p x q);

 

Affinché il prodotto tra le due matrici POSSA ESSERE ESEGUITO è necessario che 

n = p

 

CIOE' IL NUMERO DELLE COLONNE DELLA PRIMA MATRICE

DEVE ESSERE

UGUALE

AL NUMERO DELLE RIGHE DELLA SECONDA MATRICE.

 

Esempio:

A (3 x 4 )  B (4 x 5) si può eseguire il prodotto
A (2 x 5 )  B (5 x 3) si può eseguire il prodotto
A (3 x 4 )  B (3 x 4) non si può eseguire il prodotto

 

Vediamo un esempio concreto.

Prodotto tra matrici

 

Prodotto tra matrici

Le due matrici possono essere moltiplicate perché la matrice A ha un numero di colonne (4) uguali al numero delle righe di B (4).

Una volta appurato che il prodotto tra le due matrici può essere eseguito chiamiamo C la matrice che si ottiene moltiplicando A per B.

L'elemento 

c11

cioè l'elemento c che occupa la prima riga e la prima colonna della matrice C

è il PRODOTTO SCALARE tra la PRIMA RIGA di A e la PRIMA COLONNA di B. Ovvero:

Prodotto tra matrici

Prodotto tra matrici

 

c11 =  1·1 + 2·3 + 3·5 + 5·7 = 1 + 6 + 15 + 35 = 57.

 

 

L'elemento 

c12

cioè l'elemento c che occupa la prima riga e la seconda colonna della matrice C

è il PRODOTTO SCALARE tra la PRIMA RIGA di A e la SECONDA COLONNA di B. Ovvero:

Prodotto tra matrici

Prodotto tra matrici

 

c12 =  1·0 + 2·(-6) + 3·2 + 5·(-8) = 0 - 12 + 6 - 40 = -46.

 

L'elemento 

c21

cioè l'elemento c che occupa la seconda riga e la prima colonna della matrice C

è il PRODOTTO SCALARE tra la SECONDA RIGA di A e la PRIMA COLONNA di B. Ovvero:

Prodotto tra matrici

Prodotto tra matrici

 

c21 =  2·1 + (-7)·3 + 8·5 + 0·7 =2 - 21 + 40 + 0 = 21.

 

L'elemento 

c22

cioè l'elemento c che occupa la seconda riga e la seconda colonna della matrice C

è il PRODOTTO SCALARE tra la SECONDA RIGA di A e la SECONDA COLONNA di B. Ovvero:

Prodotto tra matrici

Prodotto tra matrici

 

c22 =  2·0 + (-7)·(-6) + 8·2 + 0·(-8) = 0 + 42 + 16 + 0 = 58.

 

L'elemento 

c31

cioè l'elemento c che occupa la terza riga e la prima colonna della matrice C

è il PRODOTTO SCALARE tra la TERZA RIGA di A e la PRIMA COLONNA di B. Ovvero:

Prodotto tra matrici

Prodotto tra matrici

 

c31 =  6·1 + 9·3 + 1·5 +(-3)·7 = 6 + 27 + 5 - 21 = 17.

 

 

L'elemento 

c32

cioè l'elemento c che occupa la terza riga e la seconda colonna della matrice C

è il PRODOTTO SCALARE tra la TERZA RIGA di A e la SECONDA COLONNA di B. Ovvero:

Prodotto tra matrici

Prodotto tra matrici

 

c32 =  6·0 + 9·(-6) + 1·2 +(-3)·(-8) = 0 -54 + 2 + 24 = -28.

 

Quindi, la nostra matrice C sarà:

Prodotto tra matrici

 

Proprio per il modo come si procede al calcolo del PRODOTTO TRA MATRICI esso viene detto anche PRODOTTO RIGA PER COLONNA.

 

Sintetizzando possiamo dire che il generico elemento 

cij 

che si legge

c con i con j

è dato dalla SOMMA dei PRODOTTI degli elementi della RIGA I-ESIMA della matrice A per i corrispondenti elementi della COLONNA J-ESIMA della matrice B.

Il tutto può essere scritto come segue:

Prodotto tra matrici

che si legge

c con i con j è uguale alla sommatoria per k che va da 1 ad n di a con i con k per b con k con j.

 

Nelle prossime lezioni vedremo altre considerazioni sul prodotto tra matrici.

 

 

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