CARDINALITA' DEL PRODOTTO CARTESIANO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 


Ricordiamo che si definisce CARDINALITA' di un INSIEME FINITO il NUMERO DI ELEMENTI dell'insieme.

Sappiamo che, dati due insiemi A e B non vuoti, si chiama PRODOTTO CARTESIANO di A e B, l'insieme C formato da tutte le COPPIE ORDINATE tali che il primo elemento appartiene ad A ed il secondo elemento appartiene a B. Il che si scrive:

C = A x B

che si legge

C uguale A per B



Posto che i due insiemi A e B siano due INSIEMI FINITI, vogliamo chiederci qual è la CARDINALITA' dell'insieme AxB, cioè quanti sono gli elementi che compongono l'insieme AxB.



Facciamo qualche esempio:

  • A = {a}     1 elemento
  • B ={1}     1 elemento
  • AxB = {(a, 1)}     1 elemento

  • A = {a}     1 elemento
  • B ={1, 2}     2 elementi
  • AxB = {(a, 1), (a, 2)}     2 elementi

  • A = {a, b}     2 elementi
  • B ={1, 2}     2 elementi
  • AxB = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}     4 elementi

  • A = {a, b}     2 elementi
  • B ={1, 2, 3}     3 elementi
  • AxB = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}     6 elementi

  • A = {a, b, c}     3 elementi
  • B ={1, 2, 3}     3 elementi
  • AxB = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) (c, 1) (c, 2), c(c, 3)}     9 elementi

Ricapitolando:

A B AxB
1 1 1
1 2 2
2 2 4
2 3 6
3 3 9


Notiamo che il NUMERO DI ELEMENTI del prodotto cartesiano AxB è uguale al PRODOTTO tra il NUMERO DI ELEMENTI di A e il NUMERO DI ELEMENTI di B.



Quindi possiamo dire che, se l'insieme A contiene m elementi e l'insieme B contiene n elementi, il prodotto cartesiano AxB contiene mn elementi. Quindi la sua CARDINALITA' è mn.

Allora se A e B sono due insiemi FINITI anche il loro PRODOTTO CARTESIANO è un insieme FINITO.

Invece, se uno dei due insiemi è INFINITO o lo sono entrambi, anche il loro PRODOTTO CARTESIANO è un insieme INFINITO.

 
 
 
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