CONGRUENZA MODULO n IN Z

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Parlando di CONGRUENZA abbiamo detto che dato un NUMERO INTERO POSITIVO n, si dice che due NUMERI INTERI RELATIVI a e b sono CONGRUI TRA LORO MODULO n se, divisi per n, danno lo STESSO RESTO, cioè se:

a = nk + r

b = nk' + r.



In questo caso si scrive:

a congruo b modulo n

che si legge

a congruo b modulo n.



Nell'approfondimento precedente abbiamo detto che la RELAZIONE di CONGRUENZA MODULO n può essere definita anche così:

congruenza modulo n in Z

se a congruo b modulo n allora esiste un numero q appartenente a Z tale che a meno b è uguale a q per n e viceversa.



Potremmo anche dire che

congruenza modulo n in Z

se a congruo b modulo n allora esiste un numero q appartenente a Z tale che a è uguale alla somma tra b e il prodotto di q per n e viceversa.



E' facile comprendere, infatti, che se

a - b = q·n

allora

a = b + qn

che si ottiene dalla precedente portando b a secondo membro e cambiando di segno.



Un ulteriore modo per esprime la CONGRUENZA MODULO n IN ZETA è il seguente:

congruenza modulo n in Z

se a congruo b modulo n allora n divide a meno b.



Il simbolo

n divide (a-b)

si legge

n divide a meno b



e indica, per l'appunto che, dividendo a - b per n il resto è zero, che è esattamente la stessa cosa che dire:

a - b = kn.



Inoltre possiamo scrivere anche che:

congruenza modulo n in Z

se a congruo b modulo n allora esiste un numero h appartenente a zeta tale che b meno a è uguale ad h per n.



Vediamo se è vera tale affermazione.



Se a è congruo b modulo n significa che dividendo a e b per n, il resto delle due operazioni (che chiamiamo r) è lo stesso. Quindi:

a = nk + r

b = nk' + r.



Ora vediamo a cosa è uguale

b - a.

Sostituiamo a b il suo valore e ad a il suo valore:

b - a = nk' + r - (nk + r) = nk' + r - nk - r = nk' - nk = n (k' - k).



Ora poniamo

k' - k = h.



Quindi possiamo dire che

b - a = hn.



Abbiamo dimostrato che

Conguenza modulo n in Z

se a è congruo b modulo n allora esiste un numero h appartenente a Z tale che b meno a è uguale ad h per n.



Ora dobbiamo dimostrare che è vero anche il contrario.

Partiamo da

b - a = hn.



Portiamo b a secondo membro cambiando di segno

- a = hn - b.



Cambiamo di segno:

a = - hn + b

a = b - hn.



Noi sappiamo che

b = nk' + r.

Sostituiamo nella precedente e abbiamo:

a = nk' + r - hn.



Mettiamo in evidenza la n:

a = n (k' - h) + r.



Nella prima dimostrazione avevamo posto

k' - k = h

quindi

k' - h = k .



Quindi possiamo dire che

a = kn + r.



Quindi abbiamo dimostrato anche che



Conguenza modulo n in Z

se esiste un numero h appartenente a Z tale che b meno a è uguale ad h per n allora a è congruo b modulo n.

 
Per approfondire questo argomento, leggi:
 
 
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