LezioniDiMatematica.net

 

 
Torna alla Home page del sitoIscriviti alla nostra newsletter per essere informato sugli aggiornamenti del sitoContattaci       
   

   
   

 

SEGNO del TRINOMIO di SECONDO GRADO

 

Per approfondire  

 

In una precedente lezione abbiamo parlato del SEGNO DEL TRINOMIO DI SECONDO GRADO e abbiamo detto che:

  • se il DISCRIMINANTE è POSITIVO il trinomio si annulla quando la variabile assume il valore di una delle due radici. Negli altri casi vale la regola del  DICE (Discordi - Interni - Concordi - Esterni) cioè il trinomio ha segno contrario a quello del suo primo coefficiente quando la variabile assume valori interni all'intervallo delle radici, mentre ha lo stesso segno del suo primo coefficiente quando la variabile assume valori esterni rispetto alle radici;

 

  • se il DISCRIMINANTE è UGUALE A ZERO il trinomio si annulla quando la variabile assume il valore dell'unica radice. Negli altri casi il trinomio ha segno uguale a quello del suo primo coefficiente;

 

  • se il DISCRIMINANTE è NEGATIVO il trinomio ha lo stesso segno del suo primo coefficiente per qualunque valore della x.

 

Ora cerchiamo di capire il perché di queste regole.

 

Partiamo dal primo caso. Il DISCRIMINANTE è POSITIVO.

Iniziamo col ricordare quanto abbiamo detto parlando della fattorizzazione di un trinomio di secondo grado, ovvero che il trinomio di secondo grado

ax2 + bx + c

nel caso in cui

Δ > 0

può essere scritto come

ax2 +bx +c = a (x - x1) (x - x2).

 

Come abbiamo avuto modo di dire, tale relazione nasce proprio dal fatto che il trinomio si annulla attribuendo alla variabile x il valore di x1 o il valore di x2.

Studiamo ora il segno del trinomio.

Partiamo dal presupposto che

x1 < x2.

 

Vediamo cosa accade quando la x assume VALORI ESTERNI all'interavallo delle radici x1 e x2, ovvero quando

x < x1      o     x > x2.

 

Iniziamo col vedere cosa accade se alla x attribuiamo valori minori di x1.

Se x < x1 , il fattore

(x - x1)

assume valori negativi.

E poiché x2 è maggiore di  x1, e noi diamo alla x un valore minore di di x1 (e dunque anche minore di x2) anche il secondo fattore 

(x - x2)

sarà negativo.

 

E' evidente, allora che il valore assunto dal polinomio dipende dal segno di a. Infatti:

Regola del DICE equazioni di secondo grado

Regola del DICE equazioni di secondo grado

Regola del DICE equazioni di secondo grado

 

Vediamo ora cosa accade se alla x attribuiamo valori maggiori di x2.

Se x > x2 , il fattore 

(x - x2)

assume valori positivi.

E poiché x1 è minore di  x2, e noi diamo alla x un valore maggiore di di x2 (e dunque anche maggiore di x1) anche l'altro fattore 

(x - x1)

sarà positivo.

 

E' evidente, allora che il valore assunto dal polinomio anche in questo caso dipende dal segno di a. Infatti:

Regola del DICE equazioni di secondo grado

Regola del DICE equazioni di secondo grado

Regola del DICE equazioni di secondo grado

 

Abbiamo dimostrato che, se la x assume VALORI ESTERNI all'intervallo delle radici, il trinomio assume lo STESSO SEGNO DEL PRIMO COEFFICIENTE.

 

 

Ora vediamo cosa accade quando la x assume VALORI INTERNI all'interavallo delle radici x1 e x2, ovvero quando

x1< x < x2.

 

Se x > x1 ,il fattore

(x - x1)

assume valori positivo.

E poiché il valore di x è al tempo stesso minore di x2 il secondo fattore 

(x - x2)

sarà negativo.

 

Quindi avremo:

Regola del DICE equaizoni di secondo grado

Regola del DICE equaizoni di secondo grado

Regola del DICE equaizoni di secondo grado

 

Abbiamo quindi dimostrato che, se la x assume VALORI INTERNI all'intervallo delle radici, il trinomio assume SEGNO CONTRARIO A QUELLO DEL PRIMO COEFFICIENTE.

 

 

Passiamo ora ad esaminare il caso in cui DISCRIMINANTE è NULLO.

Ricordiamo che, il trinomio di secondo grado

ax2 + bx + c

nel caso in cui

Δ = 0

può essere scritto come

ax2 +bx +c = a (x - x1)2.

 

Come sappiamo il trinomio si annulla attribuendo alla variabile x il valore di x1.

Studiamo ora il segno del trinomio.

Notiamo che

(x - x1)2

essendo un quadrato, assumerà sempre valori positivi qualsiasi valore assegniamo alla x purché diversi da  x1.

Quindi, il segno del trinomio, dipende esclusivamente dal SEGNO DEL PRIMO COEFFICIENTE. Infatti:

Segno del trinomio di secondo grado

Segno del trinomio di secondo grado

 

 

Passiamo ora ad esaminare il caso in cui DISCRIMINANTE è NEGATIVO.

Il trinomio di secondo grado

ax2 + bx + c

nel caso in cui

Δ < 0

non può essere fattorizzato, ma può essere scritto come

Fattorizzazione trinomio di secondo grado

 

Come abbiamo visto in un precedente approfondimento quello che abbiamo scritto è il prodotto tra il coefficiente del primo termine e una espressione SEMPRE POSITIVA.

E' evidente allora che, a prescindere dal valore assegnato ad x, sarà:

 

Segno del trinomio di secondo grado

Segno del trinomio di secondo grado

 

Quindi, il trinomio ha sempre lo STESSO SEGNO DEL PRIMO COEFFICIENTE per qualunque valore della x.

 

 

Indice argomenti su equazioni di secondo grado ad una incognita

 

Per comprendere

Tutte le altre lezioni sulle equazioni di secondo grado ad una incognita

 

Per approfondire

 


Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica.
Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

Compila il questionario

 
 
Lezioni, Esercitazioni e Approfondimenti di matematica e geometria

MATEMATICA:

GEOMETRIA:

GEOMETRIA ANALITICA:

 

 

 
 
www.SchedeDiGeografia.net

wwwStoriaFacile.net

www.EconomiAziendale.net

www.DirittoEconomia.net

www.LeMieScienze

www.MarchegianiOnLine.net

 

 

Il significato dei principali simboli usati in matematica e geometria
 

 

Altro materiale presente presente su LezioniDiMatematica.net
Questo sito viene aggiornato senza nessuna periodicità. Non può pertanto considerarsi un prodotto editoriale ai sensi della legge n. 62 del 7.03.2001

Il materiale presente sul sito non può essere riprodotto senza esplicito consenso dell'autore

Disclaimer-Privacy

Partita IVA: 02136250681