POSIZIONE DI UNA RETTA RISPETTO ALL'ELLISSE
- L'ellisse
- Equazione dell'ellisse con centro nell'origine e fuochi sull'asse delle x
- Equazione dell'ellisse con centro nell'origine e fuochi sull'asse delle y
- Equazione della retta
- Sistemi di equazioni di secondo grado
- Equazioni di secondo grado ad una incognita
- Discriminante di un'equazione di secondo grado
Supponiamo di avere l'ELLISSE di equazione
e supponiamo di avere la RETTA di equazione.
y = mx + n.
Vogliamo sapere se vi sono dei PUNTI di INTERSEZIONE tra l'ellisse e la retta.
Per risolvere questo tipo di problema è sufficiente mettere a sistema l'equazione dell'ellisse con quella della retta e cercare quei punti, se ci sono, che sono comuni ad entrambi. Quindi avremo:
Per risolvere il sistema basta sostituire l'equazione della retta in quella della ellisse.
Quella che si ottiene è un'EQUAZIONE DI SECONDO GRADO ad un'incognita (la x) che va risolta applicando la formula
Ora si potranno verificare tre casi diversi:
-
La RETTA è ESTERNA rispetto all'ELLISSE.
In altre parole la retta e l'ellisse non si incontrano in nessun punto, quindi non hanno nessun punto in comune.
Il sistema, visto sopra, non ammette soluzioni e ciò si verifica quando il DISCRIMINANTE della formula risolutiva è negativo.
Δ < 0
- La RETTA
è TANGENTE rispetto all'ELLISSE.
In altre parole la retta e l'ellisse hanno un solo punto in comune.
Il sistema, visto sopra, ammette una sola soluzione e ciò si verifica quando il DISCRIMINANTE della formula risolutiva è uguale a zero.
Δ = 0
In questo caso, una volta trovato il valore della x con la formula risolutiva, basta sostituirlo nell'equazione della retta per avere anche il valore della y.
I valori della x e della y trovati sono le coordinate del punto di intersezione P.
- La RETTA
è SECANTE rispetto all'ELLISSE.
In altre parole la retta e l'ellisse hanno due punti in comune.
Il sistema, visto sopra, ammette due soluzioni e ciò si verifica quando il DISCRIMINANTE della formula risolutiva è maggiore di zero.
Δ > 0
In questo caso, una volta trovati i valori x1 e x2 con la formula risolutiva, basta sostituirli nell'equazione della retta per avere anche il valore di y1 e y2.
Le coordinate dei due punti di intersezione saranno
P1(x1 ; y2)
P2(x2 ; y2).
Esempio:
determinare i punti di intersezione, se esistono, tra la retta di equazione
e l'ellisse di equazione
Mettiamo a sistema l'equazione dell'ellisse e quella della retta:
Sostituiamo la seconda equazione nella prima e risolviamo:
Andiamo a vedere il valore assunto dal discriminante della prima equazione:
Δ = b2- 4ac
Δ = (-22)- 4 · 1 · 1 = 4 - 4 = 0.
Poiché
Δ = 0
il sistema ammette una sola soluzione, il che significa che la retta è tangente all'ellisse.
Ora cerchiamo la soluzione che sarà:
Sostituiamo all'equazione della retta il valore di x appena trovato in modo da determinare il valore dell'ordinata:
y = 3x - 6
y =3 (1) - 6 = 3 - 6 = -3.
Questo significa che il punto di tangenza tra la retta e l'ellisse è
P (1; -3).
