DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO ED INCOGNITA FUORI DAL MODULO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

In questa lezione vedremo come applicare la regola esposta nella lezione 5, alle disequazioni del tipo

|A(x)| ≥ B(x)

oppure

|A(x)| ≤ B(x).



In pratica si tratta di disequazioni che hanno:

  • in un membro, un modulo contenente l'incognita;
  • nell'altro membro, una espressione contenente anch'essa l'incognita.



Esempio:

|9x - 7| > 3x + 2.



Iniziamo a STUDIARE il SEGNO delle espressioni che compaiono all'interno di ciascun modulo. Qui abbiamo un solo modulo e, quindi, studiamo solamente il segno della espressione presente al suo interno. Quindi scriviamo:

9x - 7 ≥ 0

9x ≥ 7

x ≥ 7/9.



Notiamo che:

  • quando l'incognita è maggiore di 7/9 l'espressione presente nel modulo è positiva;
  • quando l'incognita è uguale a 7/9 l'espressione presente nel modulo è nulla;
  • quando l'incognita è minore di 7/9 l'espressione presente nel modulo è negativa.

RIPORTIAMO i RISULTATI ottenuti su di un GRAFICO:

Risolvere disequazioni con valore assoluto



Nel grafico risultano individuati due intervalli. Chiaramente il grafico si potrebbe anche omettere, proprio perché gli intervalli sono solo due.

Quindi scriviamo un sistema per ogni intervallo.

Quando

x < 7/9

l'espressione presente nel modulo è negativa, quindi la nostra disequazione diventa:

- (9x - 7 ) > 3x + 2.

Il primo sistema da risolvere, quindi, è:

Risolvere disequazioni con valore assoluto



Quando

x ≥ 7/9

l'espressione presente nel modulo è positiva o nulla, quindi la nostra disequazione diventa:

9x - 7 > 3x + 2.

Il secondo sistema da risolvere, quindi, è:

Risolvere disequazioni con valore assoluto



Andiamo a risolvere i due sistemi.

Partiamo dal primo:

Risolvere disequazioni con valore assoluto



Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico:

Risolvere disequazioni con valore assoluto



La soluzione del primo sistema è data dalle

x < 5/12.



Passiamo a risolvere il secondo sistema:

Risolvere disequazioni con valore assoluto



Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico:

Risolvere disequazioni con valore assoluto



Ricordiamo che, in questo caso, il pallino pieno presente nel grafico indica che il valore 7/9 è compreso nelle soluzioni della disequazione.

La soluzione del secondo sistema è data dalle

x > 3/2.



Facciamo l'UNIONE INSIEMISTICA dei risultati ottenuti e avremo la soluzione della disequazione data. Essa è

x < 5/12 ˅ x > 3/2.

 
 
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