DISEQUAZIONI CON DUE MODULI

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Continuiamo a vedere come applicare la regola esposta nella lezione 5, e andiamo ad occuparci delle disequazioni nelle quali sono presenti due moduli, del tipo

|A(x)| |B(x)|

oppure

|A(x)| ≤ |B(x)|.



Esempio:

|2x - 3| ≤ |3x - 4|.



Come abbiamo visto nelle lezioni precedenti, la prima cosa da fare è STUDIARE il SEGNO di ogni espressione presente all'interno dei vari moduli. Quindi poniamo:

2x - 3 ≥ 0

e

3x - 4 ≥ 0.



Da cui avremo

2x - 3 ≥ 0

2x ≥ 3

x ≥ 3/2

e

3x - 4 ≥ 0

3x ≥ 4

x ≥ 4/3.



RIPORTIAMO i RISULTATI ottenuti sul solito GRAFICO:

Risolvere disequazioni con valore assoluto



Nel grafico risultano individuati tre intervalli. Quindi scriviamo un sistema per ogni intervallo.

Quando

x < 4/3

entrambe le espressioni sono negative. Quindi:

- (2x - 3 ) ≤ - (3x - 4).

Il primo sistema da risolvere, quindi, è:

Risolvere disequazioni con valore assoluto



Quando

4/3 ≤ x < 3/2

l'espressione 2x - 3 è negativa, mentre l'espressione 3x - 4 è positiva o nulla. Quindi la nostra disequazione diventa:

- (2x - 3 ) ≤ 3x - 4.

Il secondo sistema da risolvere, quindi, è:

Risolvere disequazioni con valore assoluto



Infine, quando

x ≥ 3/2

entrambe le espressioni sono positive o nulle, di conseguenza la disequazione diventa:

2x - 3 ≤ 3x - 4.

Il terzo sistema da risolvere, quindi, è:

Risolvere disequazioni con valore assoluto



Andiamo, ora, a risolvere i sistemi impostati.

Primo sistema:

Risolvere disequazioni con valore assoluto



Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico:

Risolvere disequazioni con valore assoluto



La soluzione del primo sistema è data dalle

x ≤ 1.



Secondo sistema:

Risolvere disequazioni con valore assoluto



Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico:

Risolvere disequazioni con valore assoluto



La soluzione del secondo sistema è data dalle

7/5 ≤ x < 3/2.



Terzo sistema:

Risolvere disequazioni con valore assoluto



Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico:

Risolvere disequazioni con valore assoluto



La soluzione del terzo sistema è

x ≥ 3/2 .



Facciamo l'UNIONE INSIEMISTICA dei risultati ottenuti, ovvero

x ≤ 1 ˅7/5 ≤ x < 3/2 ˅ x ≥ 3/2.



Se riportiamo questi tre intervalli su un grafico

x ≤ 1 ˅ 7/5 ≤ x < 3/2 ˅ x ≥ 3/2.



Risolvere disequazioni con valore assoluto

notiamo che, chiaramente, possiamo scrivere la soluzione nel modo che segue:

x ≤ 1 ˅x ≥ 7/5.



In alcuni casi particolari si potrebbe procedere a risolvere questo tipo di disequazioni in modo diverso, senza ricorrere allo studio dei segni delle espressioni presenti nei vari moduli. A questo argomento dedichiamo uno specifico approfondimento.

 
Per approfondire questo argomento, leggi:
 
 
 
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