DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO ED UNA COSTANTE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nella lezione precedente abbiamo visto come si risolvono le disequazioni del tipo:

|A(x)| > k

oppure

|A(x)| ≥ k

dove k è una costante.



In questa lezione, invece, andremo a vedere come si risolvono disequazioni del tipo

|A(x)| < k

oppure

|A(x)| ≤ k

sempre con k costante.



Anche in questo caso, così come abbiamo visto nella lezione precedente, bisogna procedere in modo diverso a seconda che k sia un numero negativo oppure un numero positivo.

Partiamo dal caso in cui

k < 0.

A primo membro abbiamo un valore assoluto: esso è sempre positivo, quindi non sarà mai minore o uguale ad un numero negativo. Anche nel caso in cui la x dovesse assumere dei valori tali che A(x) è uguale a zero, la disequazione non è vera dato che lo zero è maggiore di un numero negativo.

In altre parole una disequazione simile non è MAI VERIFICATA. Possiamo anche scrivere:

Disequazioni con valore assoluto

che si legge

non esiste soluzione



oppure

S = Ø

che si legge

la soluzione è l'insieme vuoto.



Esempio:

|6x + 8| < -3.

Nel nostro esempio

k = -3

quindi un valore negativo. Il primo membro è sempre positivo e, quindi, sempre maggiore del secondo. La disequazione non è mai verificata.



Vediamo un altro esempio:

|4x| ≤ -2.

Il primo membro è sempre positivo e non potrà mai essere minore del secondo membro che è negativo. Se il primo membro si annullasse (cosa che accade quando x = 0) avremmo

0 ≤ - 2

che non è mai vera. Quindi la nostra disequazione non ammette soluzioni.



Passiamo ad esaminare il caso in cui

|A(x)| ≤ k

con

k > 0.



Così come abbiamo fatto nella lezione precedente, anche in questo caso andiamo a considerare il VALORE ASSOLUTO di un numero o di una espressione come la sua DISTANZA DALL'ORIGINE di una linea dei numeri.

Come abbiamo già detto, dato il numero reale k, la sua distanza dall'origine è k. Ma anche il numero -k ha come distanza dall'origine k. Ovvero:

Disequazioni con valore assoluto



Ora, affinché un'espressione sia minore di k la sua distanza dall'origine deve essere minore rispetto alla distanza 0k oppure la sua distanza dall'origine deve essere minore rispetto alla distanza -k0.



Ad esempio questo si verifica quando:

Disequazioni con valore assoluto



In altre parole, questo si verifica ogni volta che la nostra espressione si colloca nell'area tratteggiata del grafico:



Disequazioni con valore assoluto



cioè ogni volta in cui A(x) è compreso tra k e - k.



In altre parole le soluzioni della disequazione sono

- k≤ A(x) ≤ k.



Chiaramente, se la disequazione è del tipo

|A(x)| ≤ k

la soluzione sarà

- k≤ A(x) ≤ k

mentre, se la disequazione è del tipo

|A(x)| < k

a soluzione sarà

- k < A(x) < k.



Esempio:

|2x - 3 | < 1.

Il verso della disequazione è minore e k è un numero positivo, 1 quindi si tratta di risolvere

-1 < 2x - 3 < 1.



Risolviamo separatamente le due disequazioni e alla fine andiamo a prendere i valore interni all'intervallo trovato:

2x - 3 > -1

2x - 3 < 1.



Risolviamo la prima

2x - 3 > -1

2x > -1 + 3

2x > 2

x > 1.



Passiamo alla seconda

2x - 3 < 1

2x < 1 + 3

2x < 4

x < 2.



La soluzione cercata è:

1 < x < 2.



Questa disequazione, può essere risolta anche con altri procedimenti: se volte sapere come, vi rimandiamo all'approfondimento Risoluzione di disequazioni con valore assoluto e costante.

 
Per approfondire questo argomento, leggi:
 
 
 
Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

Compila il questionario


SchedeDiGeografia.net
StoriaFacile.net
EconomiAziendale.net
DirittoEconomia.net
LeMieScienze.net
MarchegianiOnLine.net