DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO ED UNA COSTANTE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

In questa lezione e nella prossima vedremo come si risolvono le disequazioni che si presentano in una delle seguenti forme:

|A(x)| > k

|A(x)| < k

dove k è una costante.



Così come abbiamo detto nella lezione precedente, anche in questo caso:

  • anziché il simbolo di maggiore possiamo trovare quello di maggiore o uguale;
  • come, anziché il simbolo di minore possiamo trovare quello di minore o uguale.

In questa lezione ci concentreremo sul caso di disequazioni con il simbolo di maggiore o maggiore uguale, quindi disequazioni del tipo

|A(x)| > k

oppure

|A(x)| ≥ k.



Bisogna distinguere il caso in cui k è negativo, da quello in cui kè positivo.

Partiamo da

k < 0.

A primo membro abbiamo un valore assoluto: esso è sempre positivo, quindi la nostra disequazione è sempre vera dato che un valore positivo è sempre maggiore di uno negativo. Anche nel caso in cui la x dovesse assumere dei valori tali che A(x) è uguale a zero, la disequazione è vera dato che lo zero è maggiore di un numero negativo.

In altre parole la soluzione è data da:

Disequazioni con valore assoluto

che si legge

qualunque x appartenente ai reali.



Esempio:

|6x - 2| > -4.

Nel nostro esempio

k = - 4

quindi un valore negativo. Il primo membro è sempre positivo e, quindi, sempre maggiore del secondo. La disequazione è sempre vera per qualsiasi valore di x.



E se anziché il simbolo di maggiore, nella disequazione vi fosse stato il simbolo di maggiore o uguale? In altre parole vogliamo vedere cosa accade se la disequazione ha una forma del tipo:

|A(x)| ≥ k

sempre con

k < 0.

Ovviamente non cambia nulla dato che dovremmo includere nella soluzione anche i valore di x che annullano A(x) ma abbiamo visto che essi sono già compresi nel caso in cui la disequazione preveda il solo simbolo di maggiore.



Passiamo ad esaminare il caso in cui

|A(x)| > k

con

k > 0.



Per risolvere questo tipo di disequazione ricorriamo alla definizione di valore assoluto ed in modo particolare consideriamo il VALORE ASSOLUTO di un numero o di una espressione come la sua DISTANZA DALL'ORIGINE di una linea dei numeri.



Prendiamo allora il numero reale k: la sua distanza dall'origine è k. Ma anche il numero -k ha una distanza dall'origine pari a k. Graficamente:

Disequazioni con valore assoluto

E' evidente che, il segmento 0k è il segmento -k0 sono congruenti cioè, in altre parole, coincidono.



Ora chiediamoci: "Quando il valore assoluto di un'espressione è maggiore di k?". Ciò si verifica quando la distanza dall'origine è maggiore rispetto alla distanza 0k oppure quando la distanza dall'origine è maggiore rispetto alla distanza -k0.



Ad esempio quando

Disequazioni con valore assoluto



In altre parole, questo si verifica ogni volta che la nostra espressione si colloca nell'area tratteggiata del grafico:

Disequazioni con valore assoluto

cioè ogni volta in cui A(x) è maggiore di k oppure A(x) è minore di -k.



In altre parole le soluzioni della disequazione sono

A(x) > k ˅ A(x) < - k

che si legge

A con x maggiore di k oppure A con x minore di meno k.



Esempio:

|5x + 2| > 12.

Il verso della disequazione è maggiore e k è un numero positivo, 12: si tratta, quindi, di risolvere

5x + 2 > 12 ˅ 5x + 2 < - 12.

Risolviamo la prima disequazione:

5x + 2 > 12

5x > 12 - 2

5x > 10

x > 5/10

x > 2.



Passiamo alla seconda disequazione

5x + 2 < - 12

5x < -12 - 2

5x < -14

x < -14/5.



La nostra disequazione di partenza ha, quindi, come soluzioni

x > 2 ˅ x < -14/5.



E se la nostra disequazione presentasse, oltre al simbolo di maggiore, anche quello di uguale? Non cambia nulla. Basta aggiungere il simbolo di uguale anche nel risultato, cioè includere nel risultato anche i valori di x che rendono nullo A(x).

Quindi, se

A(x) ≥ k

con

k > 0

le soluzioni saranno

A(x) ≥ k ˅ A(x) ≤ - k.



Esempio:

|3x - 6| 18

3x - 6 ≥ 18 ˅ 3x - 6 ≤ - 18.



Risolviamo la prima disequazione:

3x - 6 ≥ 18

3x ≥ 18 + 6

3x ≥ 24

x ≥ 24/3

x ≥ 8.



Passiamo alla seconda disequazione:

3x - 6 ≤ - 18

3x ≤ - 18 + 6

3x ≤ - 12

x ≤ -12/3

x ≤ -4



La nostra disequazione di partenza ha, quindi, come soluzioni

x ≥ 8 ˅ x ≤ -4.



Nella prossima lezione vedremo cosa accade nelle disequazioni con valore assoluto e una costante e il simbolo di minore.

Inoltre, quello che abbiamo visto in questa lezione non è il solo modo per risolvere una disequazione di questo tipo: se volte saperne di più leggete l'approfondimento Risoluzione di disequazioni con valore assoluto e costante: vi suggeriamo, però, di leggerlo dopo aver letto la prossima lezione.

 
Per approfondire questo argomento, leggi:
 
 
 
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