DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO E LO ZERO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Iniziamo a vedere come si risolvono i vari tipi di DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO.

Partiamo dal caso in cui la disequazione si presenti in una delle forme seguenti:

|A(x)| > 0

|A(x)| < 0.

Ovviamente:

  • anziché il simbolo di maggiore potremmo avere quello di maggiore o uguale;
  • come, anziché il simbolo di minore potremmo avere quello di minore o uguale.

Partiamo dal caso:

|A(x)| > 0.

A primo membro abbiamo un valore assoluto: esso è sempre positivo, quindi la nostra disequazione è vera per qualunque x ad eccezione di quei valori di x che annullano A(x). Infatti se

A(x) = 0

il suo valore assoluto è uguale a zero e quindi il primo membro non sarà maggiore di zero.

In altre parole la soluzione è data da:

Disequazioni con valore assoluto

che si legge

qualunque x appartenente ai reali tale che A con x è diverso da zero.



Esempio:

|2x - 4| > 0.

La soluzione è data da qualunque x ad eccezione dei valori di x che annullano 2x - 4. Quindi poniamo

2x - 4 ≠ 0.

Risolviamo e abbiamo

2x ≠ 4

x ≠ 4/2

x ≠ 2.



La soluzione quindi è data da qualunque valore di x diverso da 2. Quindi la soluzione è

Disequazioni con valore assoluto

che si legge

qualunque x appartenente ai reali con x diverso da 2.





Passiamo al caso:

|A(x)| ≥ 0.

A primo membro abbiamo un valore assoluto: esso è sempre positivo, quindi la nostra disequazione è vera per qualunque x. In questa ipotesi non bisogna escludere le x che annullano A(x) dato che, quando esso si annulla, la disequazione è comunque verificata essendo presente anche il segno di uguaglianza.

Esempio:

|3x| ≥ 0.

La disequazione è vera per qualunque x appartenente ai reali, ovvero

Disequazioni con valore assoluto

che si legge

qualsiasi x appartenente ai reali.





Vediamo ora il caso:

|A(x)| < 0.

A primo membro abbiamo un valore assoluto: esso è sempre positivo, quindi la nostra disequazione non è mai verificata dato che il primo membro non potrà mai essere minore di zero.

Esempio:

|5x + 2| < 0.

La disequazione non ammette soluzione. Quindi diremo che

La disequazione non ammette soluzioni

che si legge

non esiste soluzione

oppure diremo che

S = Ø

che si legge

la soluzione è l'insieme vuoto.





E se la disequazione si presenta nella forma

|A(x)| ≤ 0.

In questo caso la disequazione è vera solamente per quei valori di x che annullano A(x).

Esempio:

|5x + 2| ≤ 0.

La disequazione è vera solamente se

5x + 2 = 0.

Risolviamo e abbiamo

5x + 2 = 0

5x = -2

x = -2/5.



La soluzione della disequazione è quindi x = -2/5.

 
 
 
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