AREA DI UN POLIGONO REGOLARE CONOSCENDO UN LATO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nella lezione precedente abbiamo visto che, in un POLIGONO REGOLARE, il RAPPORTO tra l'APOTEMA del poligono e il LATO è sempre COSTANTE. Abbiamo indicato tale valore con f e abbiamo detto che

f = a/l

dove

f = costante del poligono

a = apotema

l = lato.



Ora supponiamo di avere un esagono e di conoscere solamente la misura del suo lato.

La formula per trovare l'area dell'esagono è:

A = (P x a)/ 2.

Trattandosi di un esagono il perimetro è dato da:

P = 6 x l.

Se sostituiamo tale formula in quella dell'area avremo:

A = (6 x l x a)/ 2.



Sappiamo però che l'apotema è uguale a

a = l x f

e che, nel caso dell'esagono, f è uguale a 0,866. Quindi possiamo scrivere che l'apotema è uguale a:

a = l x 0,866.



Ora, riprendiamo la formula dell'area e sostituiamo in essa il valore dell'apotema. Ovvero:

A = (6 x l x a)/ 2

A = (6 x l x l x 0,866)/ 2.

Moltiplicando l x l possiamo scrivere:

A = (6 x l2 x 0,866)/ 2.



Mentre, semplificando il 6 con il 2 otterremo:

A = (3 x l2 x 0,866)/ 1 = 3 x l2 x 0,866.



Infine, moltiplicando il 3 per la costante 0,866 avremo:

A = 3 x l2 x 0,866 = l2 x 2,598.

Quindi:

A = l2 x 2,598.



Ovviamente, da questa formula ricaviamo che:

A/ l2 = 2,598.



Il discorso appena fatto per l'esagono vale per qualsiasi altro poligono regolare.

Quindi possiamo dire che in qualsiasi POLIGONO REGOLARE il RAPPORTO tra l'AREA e il QUADRATO del LATO è uguale ad una COSTANTE. Il valore di tale costante dipende dal NUMERO dei LATI del poligono.

E possiamo anche dire che l'AREA di un POLIGONO REGOLARE è dato dal PRODOTTO tra il QUADRATO della misura del LATO e la COSTANTE del poligono considerato. Chiamiamo tale costante

φ

che si legge

fi.



Quindi possiamo scrivere che

A = l2 x φ

e di conseguenza


lato del poligono regolare di cui si conosce il lato



Riportiamo, nella tabella che segue, il valore della costante φ per i diversi poligoni regolari:



POLIGONO COSTANTE
Triangolo equilatero 0,433
Quadrato 1
Pentagono regolare 1,720
Esagono regolare 2,598
Ettagono regolare 3,634
Ottagono regolare 4,828
Ennagono regolare 6,182
Decagono regolare 7,694


Esempio 1:

calcolare l'area di un ottagono regolare il cui lato misura 20 cm.

Applichiamo la formula vista:

A = l2 x φ.

Trattandosi di un ottagono regolare il valore di φ è uguale a 4,828. Quindi avremo:

A = l2 x φ = 202 x 4,828 = 400 x4,828 = cm2 1.931,2.



Esempio 2:

calcolare il perimetro di un pentagono regolare la cui area misura cm2 50.

Applichiamo la formula inversa appena vista in modo da trovare la misura del lato:


Lato del poligono regolare di cui si conosce l'area



Trattandosi di un pentagono regolare il valore di φ è uguale a 1,720. Quindi avremo:


lato del poligono regolare di cui si conosce l'area



Per conoscere il perimetro è sufficiente moltiplicare il lato per 5 dato che il pentagono ha 5 lati:

P = 5 x 5,39 cm = 26,95 cm.

 
 
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