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METODO di SOSTITUZIONE

 

Per comprendere  

 

Uno dei metodi che possiamo impiegare per risolvere un SISTEMA DI DUE EQUAZIONI LINEARI IN DUE INCOGNITE è il METODO DI SOSTITUZIONE

Tale metodo si basa sul SECONDO PRINCIPIO di equivalenza dei sistemi detto anche  PRINCIPIO di SOSTITUZIONE. Esso afferma che quando un'equazione è risolta rispetto ad una incognita e, andiamo a SOSTITUIRE nelle ALTRE EQUAZIONI la sua ESPRESSIONE, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.

Vediamo allora come possiamo applicare tale principio per risolvere un sistema del tipo:

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di sostituzione

Nel nostro esempio, il sistema è già RIDOTTO in FORMA NORMALE. Se così non fosse sarebbe necessario, per prima cosa, procedere alla riduzione in forma normale.

Ora risolviamo la prima equazione rispetto alla x.

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di sostituzione

Quindi sostituiamo il valore della x, così ottenuto, nella seconda equazione e avremo:

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di sostituzione

 

La seconda equazione è così un'equazione in una sola incognita di primo grado. Andiamo a risolverla nei modi consueti:

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di sostituzione

Trovato il valore della y lo sostituiamo nella prima equazione:

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di sostituzione

Quindi le soluzioni del sistema sono:

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di sostituzione

 

Ricapitolando, per risolvere un SISTEMA LINEARE di DUE EQUAZIONI in DUE INCOGNITE col METODO di SOSTITUZIONE dobbiamo:

  • RISOLVERE UNA delle equazioni RISPETTO A UNA DELLE INCOGNITE;

  • SOSTITUIRE l'espressione trovata nell'ALTRA EQUAZIONE in modo da ottenere un'equazione di primo grado in una sola incognita e risolverla nei modi consueti;

  • SOSTITUIRE il valore della SECONDA INCOGNITA nella precedente equazione.

 

Vediamo un altro esempio:

 

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di sostituzione

Anche in questo caso il sistema è ridotto a forma normale

Ora risolviamo la prima equazione rispetto alla x.

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di sostituzione

Quindi sostituiamo il valore della x, così ottenuto nella seconda equazione e avremo:

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di sostituzione

La seconda equazione è così un'equazione in una sola incognita di primo grado. Andiamo a risolverla nei modi consueti:

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di sostituzione

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di sostituzione

Trovato il valore della y lo sostituiamo nella prima equazione:

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di sostituzione

Quindi le soluzioni del sistema sono:

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di sostituzione

 

 

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