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Abbiamo visto nella lezione precedente che il PRODOTTO
tra due POLINOMI è il polinomio i cui termini si ottengono MOLTIPLICANDO
ogni TERMINE del primo POLINOMIO per ogni termine del secondo POLINOMIO.
Questo modo di procedere può risultare un po'
complesso quando ci troviamo di fronte a polinomi con molti termini. In
questi casi si può utilizzare un altro procedimento che ora andremo a
spiegare.
Esempio:
(2x3
+4x2y + 7xy2 + 2y3) (2x2 - xy - y2).
Innanzitutto, per poter applicare il
metodo che stiamo per vedere è necessario che tutte e due i polinomi
siano ordinati secondo la medesima lettera.
Ricordiamo che un POLINOMIO
si dice ORDINATO secondo le potenze
decrescenti di una lettera, se i suoi TERMINI
sono ORDINATI in modo che gli ESPONENTI
di quella lettera vadano DECRESCENDO.
Nel nostro esempio i due polinomi sono
ordinati secondo le potenze decrescenti della lettera x.
Ora scriviamo il primo polinomio (cioè
il MOLTIPLICANDO)
e il secondo polinomio (cioè il MOLTIPLICATORE)
uno sotto all'altro. Così:
| moltiplicando |
2x3
+4x2y + 7xy2 + 2y3
|
| moltiplicatore |
2x2
- xy - y2
|
Iniziamo a scrivere, nella riga
successiva, il PRODOTTO, tra il PRIMO
TERMINE del MOLTIPLICANDO e il MOLTIPLICATORE.
In altre parole moltiplichiamo 2x3
per ogni termine del moltiplicatore.
| moltiplicando |
2x3
+4x2y +7xy2 +2y3 |
| moltiplicatore |
2x2 -xy
-y2 |
| prodotto
parziale |
4x5
-2x4y -2x3y2 |
Abbiamo così ottenuto il primo PRODOTTO
PARZIALE.
Ora scriviamo, nella riga successiva, il
PRODOTTO, tra il SECONDO
TERMINE del MOLTIPLICANDO e il MOLTIPLICATORE.
In altre parole moltiplichiamo 4x2y
per ogni termine del moltiplicatore.
E' importante, quando si scrive il
secondo prodotto, METTERE IN COLONNA i
TERMINI SIMILI, cioè aventi la stessa
parte letterale. Notiamo, infatti, che il primo risultato ottenuto 8x4y
lo poniamo sotto a -2x4y.
| moltiplicando |
2x3 |
+4x2y |
+7xy2 |
+
2y3 |
| moltiplicatore |
2x2 |
-xy |
-y2 |
|
| prodotto
parziale |
4x5 |
-2x4y |
-2x3y2 |
|
| prodotto
parziale |
|
8x4y |
-4x3y2 |
-4x2y3 |
Abbiamo così ottenuto il secondo PRODOTTO
PARZIALE.
Passiamo a scrivere, nella riga
successiva il PRODOTTO, tra il TERZO
TERMINE del MOLTIPLICANDO e il MOLTIPLICATORE.
In altre parole moltiplichiamo 7xy2
per ogni termine del moltiplicatore.
Anche in questo caso dobbiamo METTERE
IN COLONNA i TERMINI SIMILI.
Il primo risultato ottenuto 14x3y2
lo poniamo sotto a -4x3y2.
| moltiplicando |
2x3 |
+4x2y |
+7xy2 |
+
2y3 |
|
| moltiplicatore |
2x2 |
-xy |
-y2 |
|
|
| prodotto
parziale |
4x5 |
-2x4y |
-2x3y2 |
|
|
| prodotto
parziale |
|
8x4y |
-4x3y2 |
-4x2y3 |
|
| prodotto
parziale |
|
|
14x3y2 |
-7x2y3 |
-7xy4 |
Infine
MOLTIPLICHIAMO il QUARTO TERMINE
del MOLTIPLICANDO e il MOLTIPLICATORE.
In altre parole moltiplichiamo 2y3
per ogni termine del moltiplicatore.
Anche in questo caso dobbiamo METTERE
IN COLONNA i TERMINI SIMILI.
| moltiplicando |
2x3 |
+4x2y |
+7xy2 |
+
2y3 |
|
|
| moltiplicatore |
2x2 |
-xy |
-y2 |
|
|
|
| prodotto
parziale |
4x5 |
-2x4y |
-2x3y2 |
|
|
|
| prodotto
parziale |
|
8x4y |
-4x3y2 |
-4x2y3 |
|
|
| prodotto
parziale |
|
|
14x3y2 |
-7x2y3 |
-7xy4 |
|
| prodotto
parziale |
|
|
|
4x2y3 |
-2xy4 |
-2y5 |
Ora non ci rimane che SOMMARE
tra loro i
vari PRODOTTI PARZIALI:
| moltiplicando |
2x3 |
+4x2y |
+7xy2 |
+
2y3 |
|
|
| moltiplicatore |
2x2 |
-xy |
-y2 |
|
|
|
| prodotto
parziale |
4x5 |
-2x4y |
-2x3y2 |
|
|
|
| prodotto
parziale |
|
8x4y |
-4x3y2 |
-4x2y3 |
|
|
| prodotto
parziale |
|
|
14x3y2 |
-7x2y3 |
-7xy4 |
|
| prodotto
parziale |
|
|
|
4x2y3 |
-2xy4 |
-2y5 |
| PRODOTTO |
4x5 |
+6x4y |
+8x3y2 |
-7x2y3 |
-9xy4 |
-2y5 |
Abbiamo così ottenuto il nostro
prodotto.
ATTENZIONE!!!
Se il moltiplicatore o il moltiplicando o entrambi non sono polinomi
COMPLETI bisogna LASCIARE dei
POSTI VUOTI nei PRODOTTI
PARZIALI in corrispondenza dei termini mancanti.
Esempio:
| 5a5 |
-2a4 |
-3a2 |
+1 |
|
|
|
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| 2a3 |
-5a |
+2 |
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| 10a8 |
|
-25a6 |
10a5 |
|
|
|
|
|
|
-4a7 |
|
10a5 |
-4a4 |
|
|
|
|
|
|
|
-6a5 |
|
15a3 |
-6a2 |
|
|
|
|
|
|
|
2a3 |
|
-5a |
2 |
| 10a8 |
-4a7 |
-25a6 |
+14a5 |
-4a4 |
+17a3 |
-6a2 |
-5a |
+2 |
Nel moltiplicatore manca il termine con
parte letterale a3e
quello con parte letterale a ,
mentre nel moltiplicando mancano i termini con parte letterale a2
e a.
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