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POLIGONI REGOLARI INSCRITTI

 

 



Per comprendere  

 

Dallo studio dei POLIGONI abbiamo appreso che:

  • un POLIGONO i cui ANGOLI hanno tutti la STESSA AMPIEZZA si dice EQUIANGOLO;

  • un POLIGONO i cui LATI hanno tutti la STESSA LUNGHEZZA si dice EQUILATERO;

  • un POLIGONO EQUIANGOLO e EQUILATERO si dice REGOLARE.

 

Fatta questa premessa ora disegniamo una CIRCONFERENZA di centro O e raggio r:

Circonferenza di centro O e raggio r

Ora dividiamo la CIRCONFERENZA in certo numero di parti uguali (3, 4, 5 o quello che vogliamo noi). Ad esempio noi decidiamo di dividere la circonferenza in 6 parti uguali:

Circonferenza di centro O e raggio r

 

Poiché la circonferenza ha un'ampiezza di 360° ognuno dei sei angoli da noi disegnati sarà ampio:

360° : 6 = 60°.

Circonferenza di centro O e raggio r

I sei ANGOLI disegnati, sono, quindi CONGRUENTI.

 

Ad ANGOLI AL CENTRO congruenti corrispondono ARCHI CONGRUENTI.

Quindi gli archi, che nel disegno sottostante abbiamo evidenziato nei colori viola e rosso, sono congruenti:

Circonferenza di centro O e raggio r

 

Anche le CORDE relative a tali archi, che nell'immagine sottostante abbiamo disegnato in azzurro, sono CONGRUENTI, poiché esse hanno tutte la stessa distanza dal centro e tale distanza è rappresentata dal raggio r:

Circonferenza di centro O e raggio r

 

Abbiamo così disegnato un POLIGONO INSCRITTO nella circonferenza: il poligono ABCDEF.

Poligono inscritto nella circonferenza

Poiché le corde, tra loro congruenti, non sono altro che i lati del poligono possiamo affermare che il nostro POLIGONO è EQUILATERO.

 

Ora osserviamo i triangoli AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA

I lati obliqui di tali triangoli sono i raggi della circonferenza. Quindi ogni triangolo avrà i lati obliqui congruenti: di conseguenza tali triangoli sono tutti TRIANGOLI ISOSCELE. Quindi i triangoli avranno tutti i LATI OBLIQUI CONGRUENTI.

La base di ogni triangolo è rappresentata da una delle CORDE che abbiamo detto sono tra loro congruenti. Quindi le BASI dei triangoli saranno tutte CONGRUENTI.

Quindi i 6 triangoli hanno tutti e tre i lati congruenti. Ora noi sappiamo che due triangoli aventi i tre lati congruenti sono tra loro congruenti. Quindi possiamo affermare che tutti e 6 i TRIANGOLI sono tra loro CONGRUENTI. Di conseguenza anche gli ANGOLI ALLA BASE (evidenziati nell'immagine sottostante in giallo) sono tra loro CONGRUENTI.

Poligono inscritto nella circonferenza

 

Questo significa che, se gli angoli alla base dei triangoli sono congruenti, sono CONGRUENTI anche gli ANGOLI del poligono. Quindi il nostro POLIGONO è EQUIANGOLO.

Essendo il poligono equilatero ed equiangolo esso è un POLIGONO REGOLARE.

 

Se disegniamo gli ASSI dei lati del poligono (li abbiamo disegnati in marrone nell'immagine sottostante) essi si incontrano nel CIRCOCENTRO che è anche il CENTRO DELLA CIRCONFERENZA e sappiamo che questa è la condizione affinché un poligono sia inscrittibile in una circonferenza:

Poligono inscritto nella circonferenza

 

Possiamo allora affermare che se un POLIGONO è REGOLARE esso è SEMPRE ISCRITTIBILE in una circonferenza. In esso esiste un solo circocentro che è anche il centro della circonferenza. 

Come abbiamo avuto modo di dire anche in precedenza, il raggio r si dice anche RAGGIO DEL POLIGONO.

 

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