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QUADRILATERI CIRCOSCRITTI

 

 



Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo affermato che un triangolo si può sempre circoscrivere ad una circonferenza.

Ora chiediamoci: "E i QUADRILATERI sono sempre circoscrittibili?".

Consideriamo il QUADRILATERO A, B, C, D CIRCOSCRITTO:

Quadrilatero circoscritto

 

Segniamo i punti nei quali i lati del poligono sono tangenti alla circonferenza. Li chiamiamo E, F, G, H:

Quadrilatero circoscritto

Se misuriamo i segmenti EB e BF notiamo che essi sono CONGRUENTI.

Sono pure congruenti FC e CG, GD e DH, HA e AE.

Quindi possiamo scrivere:

che si legge

EB è congruo a BF

FC è congruo a CG

GD è congruo a DH

HA è congruo a AE.

 

Ora consideriamo i lati opposti del quadrilatero AB e DC, BC e DA.

Possiamo scrivere:

AB = AE + EB

DC = DG + GC

e

BC = BF + FC

DA = DH + HA.

 

Ora sommiamo tra loro i lati opposti:

AB + DC

e

BC + DA.

 

Poiché AB è la somma di AE e EB e DC è la somma di DG + GC possiamo scrivere:

 

 AB + DC = AE + EB + DG + GC.

 

Mentre la seconda somma può essere scritta così:

BC + DA = BF + FC + DH + HA.

 

Confrontiamo ora tali somme:

AB + DC = AE + EB + DG + GC

BC + DA = BF + FC + DH + HA

 

ed evidenziamo con colori uguali i segmenti tra loro congruenti:

AB + DC = AE + EB + DG + GC

BC + DA = BF + FC + DH + HA.

Ordiamo le due somme in modo diverso:

AB + DC = AE + EB + DG + GC

BC + DA = HA + BF + DH + FC .

 

Quindi possiamo dire che:

AE + EB + DG + GC = HA + BF + DH + FC 

e di conseguenza anche 

AB + DC = BC + DA.

 

Quindi possiamo concludere che un QUADRILATERO può essere CIRCOSCRITTO ad una circonferenza se la SOMMA DEI LATI OPPOSTI è UGUALE. Se questa condizione si verifica esiste un unico incentro.

Quindi, tornando alla domanda iniziale possiamo dire che non tutti i quadrilateri sono circoscrittibili. Nella prossima lezione vedremo meglio quali quadrilateri lo sono.

 

 

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