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POTENZE DI NUMERI RELATIVI 

con ESPONENTE NEGATIVO

 

 

Per comprendere  

Supponiamo di avere la seguente frazione:

divisione tra due potenze di egual base

Come sappiamo una frazione può essere trasformata in un'altra equivalente, moltiplicando o dividendo sia il numeratore che il denominatore per uno stesso numero diverso da zero.

Vogliamo, allora, trasformare la nostra frazione in un'altra equivalente e per fare questo dividiamo numeratore e denominatore per 57,  come segue:

frazione equivalente

 

A questo punto eseguiamo la divisione posta a numeratore e quella posta a denominatore.

A numeratore dovremo eseguire 57 : 57. Ovviamente, poiché si tratta di dividere un numero per se stesso, il risultato sarà 1.

A denominatore dovremo eseguire 59 : 57. Per le proprietà delle potenze dobbiamo eseguire il quoziente di due potenze aventi la stessa base.

Esso è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base, e per esponente la differenza degli esponenti. Quindi

59-7 .

Per cui possiamo scrivere:

Proprietà delle potenze

Eseguendo quando indicato a denominatore, abbiamo:

Quindi possiamo affermare che 

frazioni equivalenti

sono due frazioni equivalenti tra loro.

 

Ora proviamo a scrivere la prima frazione (57/59) in modo diverso.

Possiamo, cioè, scrivere:

57 : 59 .

Anche in questo caso ci troviamo di fronte al quoziente di due potenze aventi la stessa base. Esso è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base, e per esponente la differenza degli esponenti. Quindi:

57 : 59 = 57-9 = 5-2 .

Quindi possiamo dire che

 

sono tre modi diversi di scrivere lo stesso valore.

Ora osserviamo meglio questi tre valori e in particolare gli ultimi due.

potenze ad esponente negativo

Possiamo quindi affermare che scrivere:

5-2 e scrivere 1/52 è esattamente la STESSA COSA.

Quindi possiamo affermare che la potenza ad esponente negativo è uguale ad una frazione che ha per numeratore l'unità e per denominatore la potenza della stessa base con esponente positivo.

Esempio:

potenza con esponente negativo

e ancora:

 

potenze ad esponente negativo

 

Più in generale, quindi, possiamo scrivere:

potenza con esponente negativo

Le potenze con ESPONENTE INTERO NEGATIVO godono di tutte le proprietà delle POTENZE AD ESPONENTE INTERO POSITIVO.

Quindi valgono le seguenti proprietà:

  1. Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente uguale alla somma degli esponenti.

Quindi:

a-m a-n = a (-m)+(-n)  = a -m-n     

Esempio:

 

  1. Il quoziente di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente uguale alla differenza degli esponenti.

Quindi:

a-m : a-n = a (-m)-(-n) =  a -m+n       

Esempio:

quoziente di potenze aventi la stessa base 

  1. La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

Quindi:

(a-m)-n = a (-m)(-n)   

Esempio:

(-3-2)-3 = (-3)(-2)(-3) = (-3)6 = +729.

 

  1. Il prodotto tra due o più potenze aventi gli stessi esponenti è uguale ad una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

Quindi:

a-m b-m  = (a b)-m 

Esempio:

prodotto di potenze aventi lo stesso esponente

  1. Il quoziente tra due potenze aventi gli stessi esponenti è uguale ad una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.

Quindi:

a-m : b-m  = (a : b)-m .      

Esempio:

quoziente di potenze aventi lo stesso esponente

Le proprietà appena viste VALGONO ANCHE per le operazioni su potenze di numeri relativi che hanno ALCUNI ESPONENTI POSITIVI e ALTRI ESPONENTI NEGATIVI. 

Esempio:

(-2)5 : (-2)-3 = (-2)5-(-3) = (-2)5+3 = (-2)8 = +256.

 

 

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