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CALCOLO del m.c.m. con la SCOMPOSIZIONE in FATTORI PRIMI

 

Per approfondire  

 

Come sappiamo il MINIMO COMUNE MULTIPLO di due o più numeri, che abbreviamo con la sigla m.c.m., è il MINORE dei loro MULTIPLI COMUNI.

Uno dei metodi più impiegati per calcolare il m.c.m. di due o più numeri si basa sulla loro SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI.

Essa afferma che il m.c.m. di due o più numeri si ottiene SCOMPONENDO i numeri dati in FATTORI PRIMI  e moltiplicando i FATTORI PRIMI COMUNI e NON COMUNI, ciascuno preso una sola volta, col MASSIMO ESPONENTE. (vedi lezione 06).

 

Cerchiamo di capirne il perché attraverso un esempio: vogliamo calcolare il m.c.m. tra i numeri 12 e 30.

 

m.c.m. (12, 30).

Ora noi stiamo cercando un numero che sia al tempo stesso multiplo di 12 e di 30 e che tra tutti i multipli comuni sia il più piccolo. 

Per essere tale numero multiplo di 12 deve essere divisibile per 12 e per essere multiplo di 30 deve essere divisibile per 30: quindi stiamo cercando un numero che sia divisibile al tempo stesso per 12 e per 30 e che tra i divisori comuni sia il più piccolo.

 

Secondo quando afferma il CRITERIO GENERALE DI DIVISIBILITA'  un numero è DIVISIBILE per un altro quando, SCOMPONENDO entrambi  in FATTORI PRIMI, il PRIMO numero CONTIENE TUTTI I FATTORI PRIMI presenti nel secondo con ESPONENTI MAGGIORI o UGUALI.

Scomponiamo ora in fattori primi, 12 e 30.

12 = 22 x 3

30 = 2 x 3 x 5

Il nostro numero, quindi:

  • per essere divisore di 12, dovrà contenere:
    • il fattore primo 2 con esponente 2 o con esponente superiore;
    • il fattore primo 3 con esponente 1 o con esponente superiore;
  • per essere divisore di 30, dovrà contenere:
    • il fattore primo 2 con esponente 1 o con esponente superiore;
    • il fattore primo 3 con esponente 1 o con esponente superiore;
    • il fattore primo 5 con esponente 1 o con esponente superiore.

Quindi, per essere contemporaneamente multiplo di tutti e due, cioè divisibile per entrambi, dovrà contenere i fattori primi presenti in ambedue i numeri, ciascuno con un esponente pari al maggiore degli esponenti con cui è presente nei due numeri o eventualmente superiore.

 

Facciamo un esempio. I fattori primi presenti in 12 e 30 sono 2, 3 e 5. Prendiamoli tutti con esponente 1.

Avremmo esattamente il numero 30 che è divisibile per 30, ma non per 12: quindi non è un multiplo di 12.

Per avere un numero che sia anche multiplo di 12, il fattore 2 deve essere preso con esponente 2 o maggiore.

 

Quindi, il numero da noi cercato dovrà contenere

  • il fattore primo 2 con esponente 2 o superiore;

  • il fattore primo 3 e il fattore primo 5, entrambi con esponente primo 1 o superiore.

Noi, però, cerchiamo il MINIMO COMUNE MULTIPLO, cioè il più piccolo tra i multipli comuni.

Quindi il nostro numero dovrà contenere tutti i fattori primi presenti nei due numeri dati: quindi 2, 3 e 5 rispettivamente con esponenti 2, 1 e 1, cioè gli esponenti minori tra quelli ammissibili. Infatti prendendo questi fattori con esponenti maggiori avremmo un multiplo di entrambi i numeri dati, ma non il minore di essi.

Quindi:

m.c.m. (12, 30) = 22 x 3 x 5 = 60.

 

Da qui la regola generale secondo la quale il m.c.m. di due o più numeri si ottiene SCOMPONENDO i numeri dati in FATTORI PRIMI  e moltiplicando i FATTORI PRIMI COMUNI e NON COMUNI, ciascuno preso una sola volta, col MASSIMO ESPONENTE. .

 

 

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