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Vediamo ora come si risolvono i RIPARTI
PROPORZIONALI COMPOSTI INVERSI.
Ricordiamo che in questo tipo di riparto il numero da
dividere viene suddiviso in parti INVERSAMENTE
PROPORZIONALI a DUE o PIU' GRANDEZZE.
Vediamo il seguente esempio:
un benefattore decide di dividere tra
tre famiglie bisognose la somma di 30.000 euro. Tale somma viene ripartita
in proporzione inversa sia alle entrate mensili di ciascuna famiglia che
al numero dei componenti abili al lavoro.
Determinare la somma erogata a
ciascuna famiglia sapendo che:
-
la prima famiglia ha entrate
mensili di 500 euro e 2 persone abili al lavoro;
-
la seconda famiglia ha entrate
mensili di 450 euro e 1 persona abile al lavoro;
-
la terza famiglia ha entrate
mensili di 650 euro e 3 persone abili al lavoro.
La grandezza da ripartire, che chiamiamo
S, è la somma di 30.000
euro. Quindi:
S
= 30.000.
Tale somma va ripartita tra le tre
famiglie in proporzione inversa sia alle entrate mensili che al numero di
persone abili al lavoro presenti in famiglia.
Quindi ci troviamo di fronte ad un PROBLEMA
di RIPARTIZIONE COMPOSTA INVERSA. Infatti il compenso viene
ripartito in parti proporzionali a più di una grandezza:
le entrate mensili e il numero di persone abili al lavoro. Inoltre esso deve essere suddiviso in parti
inversamente proporzionali a
tali grandezze.
Vediamo come possiamo risolvere questo
tipo di problema.
Dobbiamo calcolare tre numeri, che
chiamiamo x,
y e
z, tali che la loro somma sia pari a 30.000
e che siano inversamente proporzionali sia a 500,
a 450 e a
650 che a 2, 1,
3.
Quindi possiamo scrivere:
x
+ y + z = 30.000.
Inoltre
| somma
erogata |
x |
y |
z |
| entrate
mensili |
500 |
450 |
650 |
| persone
abili al lavoro |
2 |
1 |
3 |
tali che la somma erogata sia INVERSAMENTE
PROPORZIONALE sia alle entrate mensili
che alle persone abili al lavoro presenti in famiglia.
Possiamo allora ripartire la somma
erogata in maniera inversamente proporzionale al prodotto tra entrate
mensili e persone abili al lavoro:
| somma
erogata |
x |
y |
z |
| entrate
mensili |
500 |
450 |
650 |
| persone
abili al lavoro |
2 |
1 |
3 |
| entrate
x persone |
500
x 2 = 1.000 |
450
x 1 = 450 |
650
x 3 = 1.950 |
Avremo allora:
x
: 1/1.000 = y : 1/450 = z : 1/1.950.
Ma noi sappiamo
che in una SERIE
DI RAPPORTI UGUALI la SOMMA
DEGLI ANTECEDENTI sta alla SOMMA
DEI CONSEGUENTI come UN
ANTECEDENTE sta al SUO
CONSEGUENTE.
Quindi possiamo
scrivere:
(x
+ y + z) : (1/1.000 + 1/450 + 1/1.950) = x : 1/1.000
(x
+ y + z) : (1/1.000 + 1/450 + 1/1.950) = x : 1/450
(x
+ y + z) : (1/1.000 + 1/450 + 1/1.950) = x : 1/1.950.
Ma dato che noi
sappiamo che
x
+ y + z = 30.000
avremo:
30.000
: (1/1.000 + 1/450 + 1/1.950) = x : 1/1.000
30.000
: (1/1.000 + 1/450 + 1/1.950) = x : 1/450
30.000
: (1/1.000 + 1/450 + 1/1.950) = x : 1/1.950.
Quindi troviamo i
valori di x,
y e z:
Ora osserviamo le formule scritte sopra:
-
30.000
è il valore di S, cioè il
numero che dobbiamo ripartire;
-
S deve essere ripartito in maniera
inversamente proporzionale a 1.000,
450 e
1.950.
Questi tre valori sono rispettivamente il prodotto tra
reddito mensile e numero dei familiari abili al lavoro. Allora chiamiamo
1.000 = a
x
m
450 = b x
n
1.950 = c
x
p.
Le tre formule viste sopra le possiamo
allora scrivere nel modo seguente:
Notiamo che queste formule hanno tutte
una parte comune che prende il nome di COEFFICIENTE DI
RIPARTO.
Quindi i RIPARTI
COMPOSTI INVERSI si risolvono MOLTIPLICANDO
il COEFFICIENTE DI RIPARTO per il RECIPROCO
del PRODOTTO
delle DIVERSE
GRANDEZZE CONOSCIUTE in base alle quali
occorre effettuare il riparto.
Tornando all'esempio precedente, avremmo
potuto risolvere il problema così:
Notiamo che la somma dei tre valori
ottenuti x (8.032),
y (17.849)
e z (4.119) è pari a
30.000.
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