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PROPORZIONALITA' INVERSA

 

Per comprendere  

 

Consideriamo i due insiemi:

A = {2, 3, 4, 5, 6, 8}

B = {60, 40, 30, 24, 20, 15} .

 

Chiamiamo CORRISPONDENTI un numero del primo insieme e un numero del secondo insieme che occupano lo stesso posto.

Quindi sono corrispondenti:

 

Elementi CORRISPONDENTI

A 2 3 4 5 6 8
B 60 40 30 24 20 15

 

Notiamo che ad ogni ad OGNI ELEMENTO dell'insieme A corrisponde un SOLO ELEMENTO dell'insieme B, e VICEVERSA. Quindi la corrispondenza tra l'insieme A e l'insieme B è una CORRISPONDENZA BIUNIVOCA.

 

Inoltre notiamo che il PRODOTTO tra un qualsiasi elemento di B e il suo corrispondente elemento di A è  sempre lo stesso, cioè diciamo che tale prodotto è COSTANTE.

Infatti:

 

Elementi CORRISPONDENTI

A 2 3 4 5 6 8
B 60 40 30 24 20 15
  2x60=120 3x40=120 4x30=120 5x24=120 6x20=120 8x15=120

 

Il numero 120 che abbiamo ottenuto moltiplicando ogni elemento di B per il corrispondente elemento di A prende il nome di COEFFICIENTE DI PROPORZIONALITA' INVERSA da A a B.

Possiamo osservare che OGNI ELEMENTO di B si ottiene DIVIDENDO il COEFFICIENTE DI PROPORZIONALITA' INVERSA per il suo elemento CORRISPONDENTE  in A.

Infatti:

 

 

Elementi CORRISPONDENTI

A 2 3 4 5 6 8
B 60 40 30 24 20 15
  120:2=60 120:3=40 120:4=30 120:5=24 120:6=20 120:8=15

 

Quando, come nell'esempio che abbiamo appena visto:

  • fra due insiemi di numeri A e B vi è una CORRISPONDENZA BIUNIVOCA;

e

  • il PRODOTTO di un QUALSIASI ELEMENTO di B per il suo CORRISPONDENTE in A è COSTANTE

si dice che i due gruppi di numeri che costituiscono rispettivamente i due insiemi sono INVERSAMENTE PROPORZIONALI o che si ha una PROPORZIONALITA' INVERSA da A a B.

 

Ora riprendiamo la nostra tabella degli elementi corrispondenti:

 

Elementi CORRISPONDENTI

A 2 3 4 5 6 8
B 60 40 30 24 20 15

 

Prendiamo due numeri a caso dell'insieme A, ad esempio:

3 e 6.

Il rapporto tra questi numeri è:

3/6 = 1/2.

 

Ora prendiamo i rispettivi CORRISPONDENTI, ovvero:

40 e 20.

Il rapporto tra questi numeri è:

40/20.

Il RAPPORTO INVERSO sarà:

20/40.

Semplificando avremo:

20/40 = 1/2.

Quindi, il rapporto tra 3 e 6 è uguale al rapporto inverso dei rispettivi corrispondenti 40 e 20 e di conseguenza possiamo scrivere:

3 : 6 = 20 : 40.

 

Prendiamo altri due numeri a caso dell'insieme A, ad esempio:

4 e 6.

Il rapporto tra questi numeri è:

4/6 = 2/3.

 

Ora prendiamo i rispettivi CORRISPONDENTI, ovvero:

30 e 20.

Il RAPPORTO INVERSO sarà:

20/30.

Semplificando avremo:

20/30 = 2/3.

Il rapporto tra 4 e 6 è uguale al rapporto inverso dei rispettivi corrispondenti 30 e 20. Quindi possiamo scrivere:

4 : 6 = 20 : 30.

 

Possiamo continuare con gli altri numeri e vedremmo che tale situazione si verifica sempre.

 

Quindi possiamo dire che se DUE INSIEMI  di numeri sono INVERSAMENTE PROPORZIONALI, il RAPPORTO di due QUALSIASI NUMERI del PRIMO INSIEME è UGUALE al RAPPORTO INVERSO dei CORRISPONDENTI numeri del SECONDO INSIEME.

 

Ora consideriamo l'insieme formato dai NUMERI INVERSI di A

Come sappiamo un NUMERO INTERO può essere considerato come una FRAZIONE avente per DENOMINATORE L'UNITA'. Il suo INVERSO, quindi è l'UNITA' FRAZIONARIA.

Quindi il nostro insieme, che chiameremo C, è:

C = {1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/8}.

 

Ora esaminiamo l'insieme C e l'insieme B:

 

Elementi CORRISPONDENTI

C 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/8
B 60 40 30 24 20 15

 

Notiamo che questi due insiemi sono DIRETTAMENTE PROPORZIONALI, infatti:

  • fra i due insiemi di numeri C e B vi è una CORRISPONDENZA BIUNIVOCA;

e

  • il RAPPORTO di un QUALSIASI ELEMENTO di B e il suo CORRISPONDENTE in C è COSTANTE.

 

Infatti:

 

Elementi CORRISPONDENTI

C 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/8
B 60 40 30 24 20 15
  60:1/2=120 40:1/3=120 30:1/4=120 24:1/5=120 20:1/6=120 15:1/8=120

 

Quindi possiamo affermare che, se due INSIEMI sono INVERSAMENTE PROPORZIONALI, ciascuno di essi è DIRETTAMENTE PROPORZIONALE all'INSIEME FORMATO DAGLI INVERSI dei numeri corrispondenti dell'altro.

 

 

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