TRASPORTO DI UN FATTORE FUORI DEL SIMBOLO DI RADICE
- Radicali di indice n
- Trasporto di un fattore fuori dal simbolo della radice
- Trasporto di un fattore fuori dal simbolo della radice
- Trasporto di un fattore fuori dal simbolo della radice
- Prodotto tra radicali
- Seconda proprietà fondamentale dei radicali
- Condizione di esistenza dei radicali
- L'insieme dei numeri naturali
- Simboli usati per l'insieme dei numeri naturali
- L'insieme dei numeri reali
- Semplificazione dei radicali: casi particolari
Dopo aver accennato, nella lezione precedente al TRASPORTO di un fattore FUORI dal simbolo di RADICE, ora iniziamo ad esaminare il primo caso, ovvero quello nel quale nel radicando compare una POTENZA con ESPONENTE UGUALE all'INDICE della radice.
Esempio:
In base a quanto appreso in merito al prodotto di due radicali, sappiamo che possiamo scrivere:
La seconda proprietà fondamentale dei radicali, ci permette di scrivere:
Ovviamente dobbiamo sempre ricordare le condizioni di esistenza del radicale.
Quindi possiamo scrivere:
che si legge
radice ennesima di a elevato ad n per b
è uguale
ad a per la radice ennesima di b
con
n appartenente ad enne asterisco (ovvero l'insieme dei numeri naturali escluso lo zero) e
se n è pari, a maggiore o uguale a zero e b maggiore o uguale a zero
se n è dispari a appartenente ai reali e b appartenente ai reali.
Vediamo alcuni esempi.
Essendo n pari e 20 un numero positivo, possiamo procedere ad applicare la formula appena vista.
Notiamo che 20 può essere scritto come il prodotto di 4 x 5. E che 4 non è altro che 22. Quindi:
Passiamo ad un altro esempio
Essendo l'indice dispari è sufficiente che i due fattori presenti nel radicando appartengano ai reali. Quindi possiamo procedere.
Notiamo che -2 al cubo dà un risultato negativo, che dovremo moltiplicare per un altro numero negativo -4. Quindi il prodotto che otteniamo è positivo. Pertanto possiamo scrivere:
Avremmo, però, potuto procedere anche in modo diverso, ricordando sempre che il prodotto di due numeri dispari è un numero pari:
Altro esempio:
Qui l'indice è pari, quindi è necessario che il radicando sia positivo o uguale a zero, ma osservando bene questa condizione è soddisfatta dato che (-3)4 è un numero positivo che viene moltiplicato per un altro numero positivo. Procediamo, allora, come al solito:
Vediamo ancora un caso:
L'indice del radicale è pari inoltre, per qualunque valore di x appartenente ai reali, avremo che x2 è sempre positivo. Quindi i due fattori 2 e x2 sono sempre positivi o, tutt'al più, x2 può essere uguale a zero.
Proprio per questa ragione si possono avere due diverse situazioni (in modo analogo a quanto abbiamo visto parlando di semplificazione di radici):
- se
x è positivo o uguale a zero, cioè se
x ≥ 0
avremo
- se
x è
negativo, cioè se
x < 0.
avremo
Quindi, in modo più sintetico il risultato può essere scritto come segue:
Ancora un esempio:
Questo caso è analogo a quello visto in precedenza, tuttavia è necessario porre come condizione che
y ≥ 0
affinché il radicando abbia significato.
Infine, vediamo un ultimo caso
nel quale è sufficiente che sia a che b appartengano all'insieme dei reali essendo l'indice dispari.
