NUMERO DELLE DIAGONALI DI UN POLIGONO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Quante diagonali ha un poligono?

Per rispondere a questa domanda dobbiamo sapere che esiste una formula per conoscere in modo rapido quante diagonali ha un poligono.

Chiamiamo con n il numero di lati del poligono. Ovvero:

n = numero di lati del poligono.



Avremo:

numero diagonali = [n· (n-3)]/ 2.



Ad esempio, vogliamo sapere qual è il numero delle diagonali di un esagono.

Dato che l'esagono ha 6 lati avremo:

n = 6

numero diagonali = [6 · (6-3)]/ 2 =

= (6 · 3)/2 = 18/2 = 9.



L'esagono ha nove diagonali.

Verifichiamolo provando a disegnare le diagonali dell'esagono:

Diagonali dell'esagono



Vediamo come si può arrivare allo stesso risultato, e a capire anche il senso di questa formula, con un ragionamento.

L'esagono ha 6 lati e, quindi, 6 vertici.



Prendiamo uno di questi vertici: il vertice A.



Numero delle diagonali di un poligono



Ora disegniamo tutte le diagonali che partono da A:

Numero delle diagonali di un poligono



Il vertice A si collega con i restanti vertici tranne i due consecutivi.



Poiché nell'esagono ci sono 6 vertici, il vertice A si collega con altri 3 vertici, ovvero:

6 vertici - se stesso - 2 vertici consecutivi ad A.



Allo stesso modo il vertice B si collega con altri 3 vertici, ovvero:

Numero delle diagonali di un poligono

6 vertici - se stesso - 2 vertici consecutivi a B.



Quindi possiamo dire che ogni vertice si collega con i tutti i vertici del poligono, meno se stesso e meno i due consecutivi.

In altre parole ogni vertice si collega con altri (6 - 3) vertici. Quindi da ogni vertice partono 3 diagonali.

Se da un vertice partono 3 diagonali, da 6 vertici partono 18 diagonali ( 6 x 3).



Però teniamo presente che la diagonale che collega, ad esempio, il vertice A al vertice E è la stessa che collega il vertice E al vertice A, quindi devo dividere le 18 diagonali per 2 ottenendo 9 diagonali.



Generalizzando, se ho n vertici, ogni vertice si collega con i restanti, tranne i due consecutivi. Quindi, essendo i vertici n, se ne prendo uno (e dunque considero i restanti n-1) esso si collega con n-3 (cioè n vertici meno se stesso e meno i due vertici consecutivi).

Se da un vertice partono n-3 diagonali, da n vertici partono [n · (n-3)] diagonali.

Tenendo conto che ogni diagonale è stata disegnata due volte, doppiamo dividere il risultato ottenuto per 2.

 
 
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