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ALGORITMO di KRONECKER

 

Per comprendere  

 

L'ALGORITMO di KRONECKER consente di CALCOLARE il RANGO di una MATRICE riducendo il numero di determinanti che occorre calcolare.

 

Ricordiamo che

  • il RANGO di una matrice A è il MASSIMO ORDINE dei MINORI aventi DETERMINANTE DIVERSO da ZERO;

  • indichiamo il rango della matrice con r.

 

Ora prendiamo la matrice quadrata A di ordine 3x4:

Algoritmo di Kronecker

 

La nostra matrice potrebbe avare rango 0, oppure 1, oppure 2, oppure 3.

Iniziamo con l'estrarre, dalla matrice A,  una sottomatrice quadrata di ordine 1, che chiameremo A', ad esempio:

Algoritmo di Kronecker

A' = (3).

Calcoliamo il determinante di questa sottomatrice e avremo:

det |3| = 3.

Il determinante di questa sottomatrice quadrata, che sappiamo prende anche il nome di minore, non è nullo. Quindi possiamo essere certi che il rango della nostra matrice sarà almeno uguale ad 1 dato che esiste un minore di ordine 1 con determinante non nullo.

 

Ora ORLIAMO la matrice A', cioè AGGIUNGIAMO alla matrice A' UNA RIGA e UNA COLONNA otterremo così la matrice A'' di ordine 2:

Algoritmo di Kronecker

Algoritmo di Kronecker

 

Calcoliamo il determinante di questa sottomatrice e avremo:

Algoritmo di Kronecker

(3 · 1) - (2 · 5) = 3 - 10 = -7.

Il determinante di questa sottomatrice quadrata non è nullo. Quindi possiamo essere certi che il rango della nostra matrice sarà almeno uguale a 2 dato che esiste un minore di ordine 2 con determinante non nullo..

 

Ora ORLIAMO la matrice A'', cioè AGGIUNGIAMO alla matrice A'' UNA RIGA e UNA COLONNA otterremo così la matrice A''' di ordine 3:

Algoritmo di Kronecker

Algoritmo di Kronecker

 

Calcoliamo il determinante di questa sottomatrice e avremo:

Algoritmo di Kronecker

[(3 · 1 · 2) + (2 · 1 · 1) + (0 · 5 · 0)] +

-  [(0 · 1 · 1) + (3 · 1 · 0) + (2 · 5 · 2)] =

[6 + 2 + 0] - [0 + 0 + 20] =

8 - 20 = -12.

Il determinante di questa sottomatrice quadrata non è nullo. Quindi possiamo essere certi che il rango della nostra matrice sarà 3 dato che esiste un minore di ordine 3 con determinante non nullo.

Quindi possiamo affermare che il rango della matrice A è 3

 

Se la sottomatrice A''' avesse avuto determinante nullo, avremmo dovuto estrarre un'altra sottomatrice di ordine 3 per verificare che il suo determinante non fosse nullo e saremmo dovuti andare avanti a considerare tutte le sottomatrici di ordine 3.

Appena trovato un determinante non nullo da una sottomatrice di ordine 3 avremmo potuto dire che la matrice A ha rango 3. Se, invece il determinante di tutte le sottomatrici di ordine 3 fossero stati nulli avremmo affermato che il rango della matrice A è 2

 

Ricapitolando il TEOREMA di KRONECKER afferma che:

  • una matrice A ha rango r se, e solo se, ESISTE ALMENO UNA SOTTOMATRICE QUADRATA di A, che chiameremo A', di ORDINE r il cui DETERMINANTE è NON NULLO;

  • le SOTTOMATRICI QUADRATE di A di ORDINE r+1 che si ottengono ORLANDO A' in tutti i modi possibili hanno DETERMINANTE NULLO.

 

 

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