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MATRICI ELEMENTARI

 

Per comprendere  

 

In una lezione precedente abbiamo visto cosa sono le OPERAZIONI ELEMENTARI e abbiamo detto che esse sono alcune trasformazioni che, se applicate ad una matrice, portano ad ottenere una MATRICE EQUIVALENTE a quella data, cioè una matrice avente lo stesso ordine e lo stesso rango della matrice data.

 

Ora dobbiamo dire che le TRASFORMAZIONI ottenibili con le OPERAZIONI ELEMENTARI,  si possono realizzare anche:

  • PRE-MOLTIPLICANDO la matrice data per una MATRICE IDENTITA' di ordine opportuno alla quale sono state applicate le OPERAZIONI ELEMENTARI che si vogliono considerare;

  • POST-MOLTIPLICANDO la matrice data per una MATRICE IDENTITA' di ordine opportuno alla quale sono state applicate le OPERAZIONI ELEMENTARI che si vogliono considerare.

 

Sempre in quella lezione eravamo partiti dalla matrice A:

Matrice A

 

Ed avevamo effettuato su di essa le seguenti trasformazioni:

Operazioni elementari sulla matrice A

 

In altre parole avevamo:

  • scambiato la prima riga con la terza riga;

  • moltiplicato la seconda colonna per 3;

  • sommato agli elementi della seconda riga, gli elementi della prima riga moltiplicati per 2.

 

Ora osserviamo che la prima trasformazione R13 la possiamo ottenere anche partendo da una MATRICE IDENTITA' di ordine 3, ovvero:

Matrice elementare

 

Ora su questa matrice eseguiamo l'operazione che vogliamo considerare, ovvero R13:

Operazioni elementari sulla matrice A

La matrice appena ottenuta prende il nome di MATRICE ELEMENTARE.

 

Adesso pre-moltiplichiamo la matrice elementare ottenuta per la matrice data, avremo:

Operazioni elementari e matrici elementari

 

Come possiamo notare abbiamo ottenuto la stessa matrice che avevamo ottenuto spostando dalla matrice A la prima riga con la terza.

 

Ora osserviamo la seconda trasformazione C2(3). Partiamo sempre dalla MATRICE IDENTITA' questa volta di ordine 4, ovvero

Matrice elementare

 

Ora su questa matrice eseguiamo l'operazione che vogliamo considerare, ovvero C2(3):

Operazioni elementari sulla matrice A

La matrice appena ottenuta prende il nome di MATRICE ELEMENTARE.

 

Adesso post-moltiplichiamo la matrice elementare per la matrice che avevamo ottenuto con la precedente trasformazione. Avremo:

Operazioni elementari e matrici elementari

 

Come possiamo notare abbiamo ottenuto la stessa matrice che avevamo ottenuto in precedenza moltiplicando la seconda riga della matrice per 3.

 

Ora veniamo all'ultima operazione. Sommare agli elementi della seconda riga, gli elementi della prima riga moltiplicati per 2

Eseguiamo  questa operazione, ovvero R21(2), su una matrice identità di ordine 3:

Operazioni elementari sulla matrice A

La matrice appena ottenuta prende il nome di MATRICE ELEMENTARE.

 

Adesso pre-moltiplichiamo questa matrice elementare per la matrice ottenuta dalla trasformazione precedente:

Operazioni elementari e matrici elementari

 

Anche in questo caso abbiamo ottenuto lo stesso risultato visto in precedenza.

Nella prossima lezione chiariremo alcuni aspetti sull'uso delle MATRICI ELEMENTARI.

 

 

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