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MATRICI EQUIVALENTI

 

Per comprendere  

 

Ipotizziamo di avere due matrici

A e B.

Esse si dicono EQUIVALENTI quando hanno:

  • lo stesso ORDINE;

  • lo stesso RANGO.

 

Chiamiamo OPERAZIONI ELEMENTARI alcune trasformazioni che, se applicate ad una matrice, portano ad ottenere una MATRICE EQUIVALENTE a quella data, cioè non mutano né l'ordine, né il rango della matrice data.

 

Sono OPERAZIONI ELEMENTARI:

  • SCAMBIARE tra loro DUE RIGHE o DUE COLONNE;

  • MOLTIPLICARE gli elementi di UNA RIGA o di UNA COLONNA per un NUMERO DIVERSO da ZERO;

  • SOMMARE agli elementi di UNA RIGA i CORRISPONDENTI elementi di un'altra riga MOLTIPLICATI per un NUMERO o SOMMARE agli elementi di UNA COLONNA i CORRISPONDENTI elementi di un'altra colonna MOLTIPLICATI per un NUMERO. 

 

Indichiamo le OPERAZIONI ELEMENTARI appena viste con i seguenti simboli:

Rij

Indica lo scambio della i-esima riga con la j-esima riga.

 

Cij Indica lo scambio della i-esima colonna con la j-esima colonna.

Ri(k) 

Indica la moltiplicazione degli elementi della i-esima riga per il numero k diverso da zero.
Ci(k)  Indica la moltiplicazione degli elementi della i-esima colonna per il numero k diverso da zero.

 

Rij(k) 

 

Indica la somma degli elementi della i-esima riga con i corrispondenti elementi della j-esima riga moltiplicati per il numero k.

 

Cij(k) 

 

Indica la somma degli elementi della i-esima colonna con i corrispondenti elementi della j-esima colonna moltiplicati per il numero k.

 

 

Esempio.

Partiamo dalla matrice

Matrici equivalenti ed operazioni elementari

ed applichiamo le seguenti operazioni elementari nell'ordine dato:

  • scambiamo la prima riga con la terza riga;

  • moltiplichiamo la seconda colonna per 3;

  • sommiamo agli elementi della seconda riga, gli elementi della prima riga moltiplicati per 2.

 

Avremo:

Matrici equivalenti ed operazioni elementari

 

La matrice ottenuta è una matrice equivalente a quella data.

 

Le matrici ottenibili l'una dall'altra attraverso delle OPERAZIONI ELEMENTARI per RIGA si dicono MATRICI EQUIVALENTI per RIGA.

 

 

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