CALCOLO DEL M.C.D. CON IL METODO DELLE DIVISIONI SUCCESSIVE
In una delle precedenti lezioni abbiamo visto come è possibile calcolare il M.C.D. con la scomposizione in fattori primi.
Va detto, però, che questo non è l'unico metodo applicabile per la ricerca del M.C.D.
Un altro metodo utilizzabile per calcolare il M.C.D. è quello delle DIVISIONI SUCCESSIVE.
Vediamo in cosa consiste.
Per trovare il M.C.D. di due numeri si procede nel modo seguente:
- si DIVIDE il MAGGIORE di essi per il MINORE;
- se il RESTO della divisione è ZERO, il M.C.D. è il numero MINORE (ovvero il divisore);
- se il RESTO della
divisione è DIVERSO da ZERO si DIVIDE
il numero MINORE per tale RESTO.
- Se il nuovo resto è ZERO, il M.C.D. è il PRIMO RESTO;
- Se il nuovo resto è DIVERSO da ZERO si DIVIDE il PRIMO RESTO per il SECONDO RESTO e si continua così fino ad ottenere per resto ZERO. Il M.C.D. cercato è il DIVISORE dell'ultima divisione effettuata.
Vediamo di comprendere meglio questa regola, che potrebbe sembrare un po' complessa, ricorrendo ad alcuni esempi.
Esempi:
Vogliamo calcolare il M.C.D. tra 90 e 30.
Il MAGGIORE dei due è 90. Lo dividiamo per 30.
Dividiamo il primo per il secondo numero:
Come si può notare il resto della divisione è zero, quindi il M.C.D. cercato è il MINORE dei due numeri, cioè 30.
M.C.D. (90; 30) = 30.
Saremmo giunti allo stesso risultato cercando il M.C.D. con il metodo della scomposizione in fattori primi. Infatti:
90 = 2 x 32 x 5
30 = 2 x 3 x 5
M.C.D. (90; 30) = 2 x 3 x 5 = 30.
Vediamo un altro esempio.
Vogliamo calcolare il M.C.D. tra 182 e 104.
Il MAGGIORE dei due è 182. Lo dividiamo per 104.
Normalmente si imposta il calcolo utilizzando una tabella, come segue:
Nella colonna a della tabella si indica il DIVIDENDO.
Nella colonna b si indica il DIVISORE.
Il DIVIDENDO è uguale al DIVISORE moltiplicato per il QUOZIENTE più il RESTO.
Vediamo come procedere: il nostro divisore è 182 e il dividendo è 104. Dividendo il primo per il secondo abbiamo come quoziente 1 e come resto 78. Quindi la prima riga andrà compilata come segue.
Poiché il resto non è zero dobbiamo proseguire.
Ora il nostro divisore diventa 104 e il dividendo sarà 78. Dividendo il primo per il secondo abbiamo come quoziente 1 e come resto 26. Quindi la seconda riga andrà compilata come segue.
Poiché il resto non è zero andiamo ancora avanti.
Ora il nostro divisore diventa 78 e il dividendo sarà 26. Dividendo il primo per il secondo abbiamo come quoziente 3 e come resto 0. Quindi la terza riga andrà compilata come segue.
Questa volta il resto è zero. Quindi il M.C.D. è il divisore dell'ultima divisione cioè 26.
Quindi:
M.C.D. (182; 104) = 26.
Nell'esempio precedente abbiamo visto come calcolare il M.C.D. TRA DUE NUMERI con il metodo delle DIVISIONI SUCCESSIVE. Ma se i NUMERI tra i quali cercare il M.C.D. sono PIU' DI DUE?
In questo caso occorre procedere così:
- cercare il M.C.D. tra due di essi;
- cercare il M.C.D. tra il M.C.D. trovato e un'altro dei rimanenti numeri;
- andare avanti così fino ad avere esaurito tutti i numeri. L'ultimo M.C.D. trovato è quello richiesto.
Esempio:
M.C.D. (945; 1.260; 735)
Iniziamo col cercare il M.C.D. tra i primi due numeri.
Il MAGGIORE dei due è 1.260. Lo dividiamo per 945 e proseguiamo come abbiamo visto prima.
Il M.C.D. tra 1.260 e 945 è 315.
Ora cerchiamo tra il M.C.D. tra il M.C.D. trovato, cioè 315, e il numero restante, 735.
Il MAGGIORE dei due è 735. Lo dividiamo per 315 e proseguiamo come abbiamo visto prima.
Il M.C.D. tra 735 e 315 è 105. Questo rappresenta il M.C.D. dei tre numeri cercati. Quindi:
M.C.D. (945; 1.260; 735) = 105.
Il calcolo del M.C.D. con il metodo dei DIVISORI SUCCESSIVI può essere particolarmente utile quando la ricerca va fatta su numeri per i quali non è facile effettuare la scomposizione in fattori primi.
