COMPOSIZIONE DI UNA FUNZIONE CON LA SUA INVERSA

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come, date due funzioni

f(x)

e

g(x)

la FUNZIONE COMPOSTA

g o f

ASSOCIA ad ogni x appartenente al campo di esistenza della prima funzione l'elemento g(f(x)).

Inoltre, abbiamo visto che, data la funzione

f(x)

essa è invertibile se è INIETTIVA. In questo caso la funzione INVERSA

f-1(y)

è la funzione che associa ad ogni elemento y la sua controimmagine x.



Ora supponiamo di voler fare la COMPOSIZIONE della funzione f con la sua INVERSA f-1. Qualunque sia la funzione data otterremo sempre la FUNZIONE IDENTITA'.



Esempio 1:

y = 4x - 1.

Calcoliamo la funzione inversa:

x = 4y - 1

-4y = -x -1

4y = x + 1

y = (x+1)/4.



Date le funzioni

f = 4x - 1

f-1 = (x+1)/4



troviamo la funzione

f o f-1 = 4[(x+1)/4] -1 =

= x +1 - 1 =

= x.

Abbiamo ottenuto la funzione identità.



Ora troviamo la funzione

f-1 o f = [4x-1+1] /4 =

= 4x/4 =

x.

Anche in questo caso abbiamo ottenuto la funzione identità.



Nella lezione dedicata alle funzioni composte abbiamo detto che in genere,

g o f ≠ f o g.

In altre parole, normalmente, la composizione di funzioni non gode della proprietà commutativa. Quella che abbiamo appena visto rappresenta l'unica eccezione.

 
 
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